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        第十二章

        作者:威廉·鄧納姆 字數:15017 閱讀:304 更新時間:2011/08/04

        第十二章

        第十二章

        康托與超限王國
         

        (1891年) 

        無限基數的性質 

          喬治·康托究竟要去向何方呢?在他1874年的論文發表之后,康托對無窮點集的性質進行了更加深入的研究。他的研究向許多方向發展,并出人意料地打開了許多新的大門。但是,他在對有關無窮這一無人回答(準確地說,是無人提出)的問題的探索,卻再清楚不過地表現出他那特有的勇敢和想象力。

          康托一旦意識到他能夠成功地定義許多超限基數,就立即感到需要使這種新基數的“小于”概念形式化。為此,他必然要再次依靠一一對應關系,但是,這一次,顯然必須特別謹慎。我們在抽象地討論這個問題之前,應再次提醒讀者注意,在我們生活的原始社會里,人們只能數到3。我們再回想一下,在這個原始社會里,有一位天才引入了5,這是一個新的基數,是任何能夠與她右手的手指構成一一對應關系的集合所具有的基數。那么,她怎樣才能證明3小于5呢?(對于我們來說,這完全不費吹灰之力,因為我們慣于計算大于3的數。)我們假設她經過認真思考和艱苦尋覓之后,發現了一個右手只有三個手指的人,比如說,只有拇指、食指和無名指。這樣,她就可以使那人右手的全部手指與她右手的部分手指構成一一對應的關系——即,使其拇指、食指和無名指一一相對。結果,她的右手還剩下兩個手指無法求得對應,這多出來的兩個手指就證明了5大于3。

          人們嘗試將這一定義擴展到一般集合。如果集合A的全部元素能夠與集合B的部分元素構成一一對應的關系,我們就說,集合A的基數小于集 

          應關系,那么,A就一定小于B。

          然而,非常遺憾,雖然這一定義在證明3<5時十分完美,但應用于無窮集時,就不能令人滿意了。例如,自然數集N和有理數集Q。我們可以很容易地寫出N集全部元素與Q的某一子集(即那些分子為1的正分數)之間的一一對應關系:

          

          經知道,在集合N的所有元素與集合Q的所有元素之間存在著與此不同的另一種一一對應關系,所以,這兩個集合具有相同的基數。乍一看,我們似乎陷入了進退維谷的尷尬境地。

          康托發現,如果在開始時引入的不是“小于”,而是“小于或等于”的概念,就可以巧妙地擺脫這種困境: 

          □定義:設有集合A和B,如果集合A的所有點與集合B某一子集的 

          注意到集合B的某一“子集”可能是集合B的全部點,在這種情況下,

          現在,康托可以用嚴格的不等式給出一個定義來描述兩個集合之間的基數性質:

          表面看來,這個定義似乎價值不大,但若仔細想一想就會發現,這個

          首先必須找出集合A的所有點與B集的部分點之間存在著一一對應關系(因

          點之間不存在一一對應的關系。問題很快就變得不那么簡單了。

          盡管如此,這個定義依然行之有效。例如,它為我們的原始朋友證明了3<5。也就是說,拇指、食指和無名指與右手五個手指中的三個手指所構成的一一對應關系證明了3≤5;然而,卻沒有辦法將她的全部五個手指與她伙伴的三個手指一一對應,所以,基數3與5不相等,結論只能是3<5。

          至于無限基數,應用同一邏輯方法足以證明0<c,因為我們可以很容易地發現集合N的全部點與區間(0,1)某一子集之間的一一對應關系:

          

          

          至此,康托已提出了一個比較基數大小的方法。請讀者注意,這個定義的直接結果是一個在直覺上十分明顯的事實,即,如果A是B的子集, 

          匹配,在集合A的所有元素與集合B的某一子集之間建立起一一對應的關系。所以,一個集合的基數大于或等于其任何子集的基數。在一系列違背直覺的命題中,這一命題似乎還算令人安心。

          康托在比較基數大小的基礎上,又提出了一個非常重要,而且,據他認為,是一個非常關鍵的論斷:

         

          如果我們只限于有限基數,這一論斷看來非常明確。但是,如果我們將其應用于超限基數,就顯得不那么明確了。讓我們仔細想一想康托提出的問題:如果在A集的全部與B集的部分之間存在著一一對應關系(即,

         

        里才能找到這最后的對應關系呢?稍加思考,我們會發現這個論斷的確具有深遠的意義。

          喬治·康托雖然從未能對這一命題作出令人滿意的證明(足以說明其復雜性),但卻仍然認為這個命題是正確的,也許這恰恰表明了他對他的集合論的“合理性”始終抱有堅定的信念。幸運的是,這一定理由兩位數學家——恩斯特·施羅德(于1896年)和費利克斯·伯恩斯坦(于1898年)各自獨立地作出了證明。由于這個定理是由幾個人共同創立的,所以,我們今天稱之為“施羅德-伯恩斯坦定理”,但有時也稱作“康托-伯恩斯坦定理”或“康托-施羅德-伯恩斯坦定理”,或把這些名字按其他方式排列。我們暫且拋開這些名稱不談,這一定理對于研究超限基數,是一個十分有用的工具。

          雖然這一定理的證明超出了本書范圍,但我們可以闡明這一定理在確定所有無理數的集合Ⅰ的基數中所起的重要作用。我們在前一章中已看到,無理數集是不可數的;也就是說,無理數集的基數大于0。但是,我們并沒有明確地給出這個基數。要確定這個基數,我們就可以應用施羅德-伯恩斯坦定理。

          首先,無理數集是實數集的一個子集,根據前一章的評述,我們知道, 

          我們定義如下:如果x=M.b1b2b3b4……bn……是一個小數形式的實數,M是這個小數的整數部分,那么,我們就可以得到與x相伴的實數

          y=M.b10b211b3000b41111b500000b6111111……

          也就是說,我們在第一位小數后面插入一個0,在第二位小數后面插入兩個1,在第三位小數后面插入三個0,等等,依此類推。例如,對應于實數x=18.1234567……的是

          y=18.1021130004111150000061111117……

          而與實數x=-7.25=-7.25000……相對應的則是

          y=-7.205110000011110000000111111……

          無論我們選用什么數值的實數x,與之相對應的y都有一個既不終止,也不循環的小數展開式,因為我們在這個小數展開式中得到越來越長的連續0或連續1的數組。因此,每一個實數x都與一個無理數y相對應。

          并且,這種對應是一一對應的。因為,如果我們已知一個y值,比如5.304114000711111000002……,我們就能夠從中“分解”出一個,并且,只有一個可能與之對應的x值,就本例而言,x=5.344712……。我們應該注意到,并不是每一個無理數最終都能夠與一個實數對應。如,無理數y=

        與任何實數x相對應。

         

         以斷定,無理數集的基數是c,與全部實數集的基數相同。

          由康托提出,并由施羅德和伯恩斯坦證明的這個定理,使超限基數這一大難題成功地得到了解決,但是,康托的奇妙問題層出不窮。另一個問題是,是否存在任何大于c的基數。根據以前的對應關系,康托感到這個問題的答案應該是肯定的,并覺得他知道如何得到一個更充分的點集。

         

          康托認為,發現一個大于一維區間(0,1)基數的關鍵是要在一個由x軸上的區間(0,1)與y軸上的區間(0,1)所構成的二維正方形中去尋覓,如圖12.1所示?低性1874年1月寫給朋友理查德·狄德金的信中問道,區間和正方形這兩個點的集合是否能夠構成一一對應的關系?他近于肯定地認為,在二維正方形與一維線段之間不可能存在這種對應關系,因為前者似乎顯然具有更多的點。雖然作出證明可能十分困難,但康托卻認為作證明也許是“多余”的。

          然而,有趣的是,這一幾乎多余的證明卻從未能夠作出?低斜M管盡了最大努力,但始終未能證明在區間與正方形之間不可能存在一一對應的關系。后來,1877年,他發現他原來的直覺是完全錯誤的。這種一一對應的關系確實存在!

          為了證明這一令人吃驚的事實,我們令S表示由全部有序偶(x,y)構成的正方形,在這里,0<x<1,0<y<1。我們只要簡單地將區間(0,1) 

        全部與單位正方形S中部分之間的一一對應關系。根據我們前面的定義,

          另一方面,對于S中的任何點(x,y),設其橫坐標x與縱坐標y都是無窮小數。即,x=0.a1a2a3a4……an……和y=0.b1b2b3b4……bn……。如我們在第十一章中所述,我們認為,這些小數展開式是唯一的——對于一個結尾可以用0的無限循環或9的無限循環表示的小數,我們采用前一種表示方法,而不采用后者,所以,我們用小數0.2000……,而不用其等價小

         

          我們采用這一約定,并根據以下定義,將S中的每一個點(x,y)與(0,1)中的點z相對應:

          z=0.a1b1a2b2a3b3a4b4……

          例如,按上面規律對x和y的小數位重新組合,就可以使單位正方形

        單位區間中唯一的一個點0.1780178110861788……相對應。沒有比這再簡單的了。同樣,如果已知區間中的一點對應于S中的某一點,我們可以通過分解小數位的方法,使之回到唯一的有序數偶。也就是說,如果z=0.93440125……,那么,在正方形中一定有由它規定的唯一的一對有序實數

          (x,y)=(0.9402……,0.3415……)

          我們注意到,根據這種對應關系,并非單位區間中的每一個點都能夠

        ……可以分解為有序偶(0.19999……,0.0000……)。但是,我們已完全排除了應用0.1999……,而代之以與其等價的小數0.2000……;更糟糕的是,第二個坐標0.0000……=0,嚴格地說,并不位于0與1之間,

         

         9090……不對應于正方形內的任何一點。

          然而,我們畢竟在S的全部點與(0,1)的部分點之間構成了一一對應 

          這一討論表明,盡管維數不同,但正方形中的點并不比區間內的點多。這兩個集合都有基數c。至少可以說,這個結果是十分令人吃驚的?低性1877年寫給狄德金的信中報告了這一發現,并驚呼,“我發現了它,但簡直不敢相信!”

          那么,我們到哪里去找大于c的超限基數呢?康托可以很容易地證明,一個比較大的正方形,甚至整個平面中的全部點,都具有與單位區間(0,1)相同的基數。即使在三維立方體中,也沒有發現更大的基數。這樣看來,c似乎是最高一級的超限基數。

          但是,事實卻證明并非如此。1891年,康托成功地證明了更高一級超限基數的存在,而且,是令人難以置信地大量存在。他的研究結果,我們今天通常稱之為康托定理。如果說他一生中證明了許多重要定理,那么,這個定理的名稱就表明了它所得到的高度評價。這個定理像集合論的任何定理一樣輝煌。

        偉大的定理:康托定理

          為了討論這一證明,我們需要引入另一個概念:

          □定義: 設有集合A,A的所有子集的集合稱為A的冪集,

          記作P[A]!

          這個定義看來非常簡單。例如,如果A={a,b,c},那么,A有

          8個子集,因而,A的冪集就是包含這8個子集的集合,即:

          P[A]={{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

          請讀者注意,空集{}和集合A本身是A的冪集的兩個元素;無論我們采用什么樣的集合A,這都是正確的。我們還應注意,冪集本身也是一個集合。這一基本事實有時容易被忽視,但在康托的思想中,這個事實卻有著重要意義。

          顯然,在我們上述例子中,冪集的基數大于集合本身的基數。也就是說,集合A包含3個元素,而它的冪集則包含23=8個元素。我們不難證明,一個包含4個元素的集合有24=16個子集;一個包含5個元素的集合有25=32個子集;總之,一個包含n個元素的集合A有2n個子集。我們可以

          但是,如果A是一個無窮集,又將如何?無窮集的冪集其基數是否同樣大于集合本身的基數呢?康托定理回答了這一引起爭論的問題:

         

        證明 為證明這一定理,我們必須依據本章前面所介紹的康托關于超限基數之間嚴格不等式的定義。顯然,我們可以很容易地發現在A與部分P[A]之間存在著的一一對應關系,因為如果A={a,b,c,d,e,……},我們就可以使元素a對應于子集{a},使元素b對應于子集{b},等等。當然,這些子集{a},{b},{c}……僅僅是A的全部子集中微不足

          到此為止,一切都很簡單。但還有必要證明A與P[A]沒有相同的基數。我們采用間接證明的方法,首先假定它們的基數相同,然后從中導出邏輯矛盾。即,我們假設在A的全部與P[A]的全部之間存在著一一對應關系。為便于論證,我們將采用一個與這一假定一致的例子,以備后面參照:

          

          于是,這個排列表示在A的全部元素與P[A]的全部元素之間存在著假定的一一對應關系。請注意,在這種對應關系中,A的某些元素屬于它們所對應的子集;例如,c是與之相對應的集合{a,b,c,d}的元素。而另一方面,A的某些元素則不屬于它們所對應的子集;例如,a就不是其對應子集{b,c}的元素。

          令人不可思議的是,這種將互不相容的東西一分為二的做法提供了導致本證明邏輯矛盾的線索,因為我們現在可以對集合B作出如下定義:

          B是原集合A中每一個不屬于它所對應的子集的元素的集合。

          參照上述假設的對應關系,我們看到,a以及b(因為b不是{d}的元素)、d(d當然不屬于空集)和 g(不是{h,I,j,……}的元素)都屬于集合B。但是,c、e和f就不是集合B的元素,因為它們分別屬于{a,b,c,d}、A本身和{a,c,f,g……}。

          因此,集合B={a,b,d,g,……}。這樣構造的B是原集合A的子集。所以B屬于A的冪集,因而必然會出現在上述對應關系右邊一列的某個位置。但是,按最初假定的一一對應關系,我們同樣斷定在左邊一列一定有A的某一元素y對應于B:

         

          到目前為止,一切順利。但是現在我們提出一個致命的問題:“y是B的元素嗎?”當然,有兩種可能:

        第一種情況 假設y不是B的元素。

          那么根據我們最初對B所下的定義,“……原集合A中每一個不屬于它所對應的子集的元素的集合”,我們看到,y理所當然是B的成員,因為在這種情況下,y不是它所對應的集合的元素。

          換句話說,如果我們首先假定y不屬于B,那么,我們就被迫得出結論,y應當是B的元素。顯然這是自相矛盾的,所以我們排除第一種情況,因為這是不可能的。

        第二種情況 假設yB的元素。

          我們再次求助于B的定義。因為第二種情況假定y屬于B,那么,y應當符合B的定義;即y不是它所對應的集合的元素。太遺憾了!與y對應的集合恰恰是B,因此,y不可能是集合B的元素。

          這樣,由于第二種情況假定y屬于B,我們不得不直接得出結論,y不是B的元素。作為邏輯結構,我們再次走進了死胡同。

          一定是什么地方出了毛病。第一種情況與第二種情況是僅有的兩種可能,但這兩種可能都導致了邏輯矛盾。我們斷定,在論證中的某個地方一定有一個假設是錯誤的。當然,問題正是開始時我們所假定的在A與P[A]之間存在著一一對應關系。我們的悖論顯然摧毀了這一假設:不可能存在這種對應關系。

          也許,用一個有限集作為具體例子,我們可以清楚地看到康托的天才。令A={a,b,c,d,e},并在集合A的元素與其冪集的某些成員之間建立對應關系: 

         

          回憶一下B的定義,即,集合A中那些不屬于它所對應的集合的元素,我們看到,B={c,e}。

          康托注意到問題的關鍵是,B不可能出現在上述對應關系的右列,因為邏輯證明,不存在可能與之對應的元素。對于A與P[A]之間任何假設的對應,康托的證明令人擊節稱贊之處在于他巧妙地描述了A的冪集不可能的一個成員(也就是B)對應于A的某一元素。這就直接否定了任何一個集合與其冪集之間存在著一一對應關系的可能。

          我們有必要停下來思考一下康托定理更深一層的含義?低凶C明,無論我們最初采用什么樣的集合,其冪集嚴格地說具有更大的基數。用他自己的話說:

          “……可以用另一集合M置換任何已知集合L,構造一個新的集合,使其基數大于L的基數!

          這樣,在尋找基數大于c的集合這一長期探索過程中,我們沒有著眼于平面中的正方形或三維空間的立方體。而是代之以區間(0,1)內點的所有

        更大的超限基數。

          現在,我們來回憶一個基本事實,按照冪集的定義,它理所當然地也是一個集合。因此,我們可以構造P[(0,1)]的冪集,即構造(0,1)的所有子集的集合的所有子集的集合。盡管P[(0,1)]的確是一個非常驚人的集

          這個妖怪一旦逃出魔瓶,就再沒有什么能夠阻止喬治·康托了。因為我們顯然能夠無限地重復這個過程,并由此生成一個越來越長的不等式鏈:

         

          簡直沒有喘息的時間。喬治·康托不僅打開魔瓶放出了第一個超限基數(0),進而又發現了甚至更加漫無邊際的無窮基數(c),而且,通過反復應用康托定理,還給出了一個生成更大超限基數的永無盡頭的不等式鏈。這是一個沒有結尾的故事。

          毫不夸張地講,這個定理,以及康托所有關于無窮的深奧理論,都引起了反對派不絕于耳的喧囂。的確,他推動數學進入一片未被開墾的處女地,在那里,數學開始并入哲學和形而上學的王國。值得注意的是,喬治·康托的數學中的形而上學含義并非對他無關緊要。據現代康托的權威傳記作家約瑟夫·多邦記載,康托在他的超限理論中發現了一種宗教意義,并認為自己“不僅是上帝的信使,準確地記錄、轉述和傳送新發現的超限數理論,而且,也是上帝的使節”?低凶约簩懙溃

          “我毫不懷疑超限數的正確性,因為我得到了上帝的幫助,而且,我曾用了二十多年的時間研究各種超限數;每一年,甚至每一天我在這一學科中都有新的發現!

          這一段文字表明,宗教在很大程度上已成為康托思想的中心。我們只要回想一下他父母的混合宗教背景,就可以想象出康托家庭中必定不乏各種各樣的神學討論。也許,這更增強了他對神學的興趣。無論如何,不論是在數學,還是在其他領域,他的思想時時顯示出宗教色彩。

          這種態度使這位神秘的怪人不能見容于他的批評者?低新暦Q他的數學乃是上帝的信息,無怪那些反對者可以隨意攻擊他的激進的無窮論?低胁粌H迷戀神學,而且熱中于證明莎士比亞的劇作乃是由弗朗西斯·培根捉刀,不免更加損害了他的形象。也許,對這一切,他的同事只感到有點兒古怪,而當他聲稱發現了有關第一位不列顛國王的資料,并且,“只要這些資料一公布,必然會使英國政府感到恐懼”時,許多人就驚得目瞪口呆了。這讓人很難不把喬治·康托看作某種狂人。

          還有他的數學。在他的祖國德國和其他一些地方,都有許多保守分子大叫大喊地反對他的理論,康托與某些很有影響的數學家逐漸交惡。當然,這些反對意見并非都是盲目的反動,因為康托的數學確實提出了一些令人莫名其妙的問題,即使那些善意的數學家也深感困惑。我們在后記中將對這樣的一個問題進行討論。

          在批評康托的人中,有一位名叫列奧波德·克羅內克(1823—1891年),他是德國數學界很有影響的人物,并固定在頗具聲望的柏林大學執教。這所大學曾培養出著名的維爾斯特拉斯和他的出色的學生(包括康托自己在內)?低性诠状髮W執教,但哈雷大學的聲望較之柏林大學,則大為遜色。因此,康托渴望能在柏林大學任職。他對于被“放逐”到二流大學,總有一種強烈的懷才不遇感,并常常把造成這種情況的原因歸結為克羅內克的迫害?低性谂c其對手間的相互攻忤中,明顯地表現出一種妄想狂的傾向。在此過程中,康托既攻擊了敵手,也得罪了朋友,也就更難有機會在柏林大學謀職。

          毫不奇怪,喬治·康托由于生活的失意和對最神秘的無窮概念的拼命鉆研,多次受到精神病的折磨。他第一次發病是在1884年,當時他正在狂熱地研究一個稱為“連續統假設”的猜想,力求對之作出簡短的證明。一種流行的看法認為,除了克羅內克及其他人的迫害以外,數學的壓力也是造成他精神崩潰的原因,F代對康托醫學資料的分析認為這種看法夸大其詞,因為有跡象表明,康托表現出一種雙相(即狂郁性)精神病的癥狀,在任何情況下都有可能使他精神崩潰。也就是說,他在受到人身攻擊或遇到數學困難時,都有可能發病,但他的疾病似乎還有更為深刻的原因。

          不管怎樣,他的病不斷發作,而且,變得日益頻繁。1884年,康托經過一段時間的住院治療之后,雖然情況好轉,但仍有復發的可能。他除了在數學與職業方面頗感失意以外,1899年,他的愛子魯道夫的意外死亡又使他受到了一個沉重的打擊。1902年,康托再次住進了哈雷的神經病醫院,后來,1904年、1907年和 1911年,又多次住院治療。然而,他出院后,又周期性地出現抑郁癥狀,他常常一動不動,靜靜地坐在家中。

          康托的一生無疑是困苦的一生。1918年1月6日,他在因精神病發作再次住院期間,不幸逝世。對于一位偉大數學家來說,這真是一個令人悲痛的結局。

          回顧喬治·康托的生活和工作,人們不禁將他與其同時代的美術大師樊尚·凡高相比。二人頗有一些相似之處?低械母赣H篤信宗教,而凡高的父親則是一位荷蘭牧師。他們兩人都深愛藝術,熱中文學,并喜歡寫詩。我們回想一下,凡高像康托一樣,也有一種古怪而反復無常的個性,最后,他甚至疏遠了像保羅·高庚這樣的朋友。他們對自己的工作都有一種極強烈的獻身精神。當然,他們兩人也都患有精神疾病,因此住院治療,而且給他們造成了沉重的思想負擔,因為他們時時擔心疾病的再次發作。

          最重要的是,凡高和康托兩人都是革命者。凡高在短暫而輝煌的生涯中,使美術超越了印象主義的范疇;同樣,康托也推動數學沿著意義深遠的新方向發展。無論人們對這位偉大而不幸的數學家如何評說,我們都不禁對他勇敢地以一種嶄新的方式探索無窮的性質肅然起敬。

          康托盡管面對重重困境,卻從未對他工作的價值喪失信心。他在談到爭議很大的有關無窮的觀點時寫道:

          “我認為是唯一正確的這種觀點,只有極少數人贊同。雖然我可能是歷史上明確持有這種觀點的第一人,但就其全部邏輯結果而言,我確信我將不是最后一人!”

          的確,他不是最后一人。雖然多少代的數學家都曾探索過古老的幾何、代數和數論的問題,但喬治·康托卻開創了全新的境界。由于他既提出、又回答了前人不曾想到的問題,所以,將他的理論稱之為自古希臘以來第一部真正具有獨創性的數學,也許是最恰當不過的了。

        后記 

          我們曾提到過集合論的某些問題,對于這些問題,即使像康托這樣的偉大天才,也未能解決。其中最令人困惑的問題來自康托的發現中一些費解的矛盾——邏輯學家稱之為“悖論”。也許,其中最簡單者即來自康托的定理。

          如果我們構造一個一切集合的集合,并稱之為U(即“泛集”)。這是一個令人難以置信的巨大集合。它包含一切概念集、全部數集、所有數集的子集的集合,等等。在集合U中,我們可以找到每一個存在的集合。在這個意義上說,U不可能再擴大;因為它已經包含了全部可能存在的集合。

          

          顯然表明P[U]遠遠大于U本身。這樣,在康托集合論的核心出現了災難性的矛盾。

          1895年,康托發現了這一悖論;其后幾十年間,數學界一直在尋求一種方法,以彌補這一悖論所造成的邏輯缺陷。問題的最終解決看來需要建立集合論的形式公理系統(正如歐幾里得建立了幾何學的公理系統),通過精心地選擇公理,合法地將上述悖論排除在外。從邏輯上說,這并非易事。但是,最后終于將集合論“公理化”,這一新體系謹慎地明確規定了什么是和什么不是“集合”。在這一體系中,“泛集”在任何意義上不再是集合;一切集合的集合就被從集合論公理所規定的集合中予以排除。于是,悖論也就魔術般地消失了。

          這一解決方法顯然是削足適履,即用一個公理,像外科手術一樣,精確地切除集合論中使人困惑的部分,而保留康托理論中所有完美的部分?低械募险,現在被稱為“樸素集合論”,以區別于公理化的集合論。后者盡管非常艱深,并需要專門的知識,但如今已成為集合論的堅實基礎。它標志著數學家大衛·希耳伯特所表述的一種激情的勝利,他曾大聲疾呼:“沒有人能把我們從康托為我們創造的樂園中趕走!

          但是,還有另外一個問題,康托也未能完美地解決,這一問題至少像悖論的出現那樣使他憂心忡忡。實際上,一些人認為,康托對這個問題年復一年地刻苦鉆研,也是造成他精神崩潰的重要因素。這個問題現在稱為康托的“連續統假設”。

          這個問題講起來非常簡單。連續統假設斷定,在0與c之間不存在別的超限基數。在這一意義上,基數0與c的性質很像整數0與1。0與1是前兩個有限整數,在它們兩者之間不可能插入任何其他整數?低胁聹y,0與c這兩個超限基數也有相似的性質。

          從另一個角度講,連續統假設表明,實數的任何無窮子集或者可數(在這種情況下,它有基數0),或者能夠與(0,1)構成一一對應的關系(在這種情況下,它有基數c)。沒有中間的可能性。

          康托在他的數學生涯中,用了很多時間來鉆研這個問題。1884年,即他的精神病第一次發作的那一年,他作出了一次重大努力。是年8月,康托認為他的努力已獲成功,便寫信給他的同事古斯塔夫·米塔格-列夫勒,宣稱他對這個問題已作出了證明。但是,三個月以后,他在隨后的信中不僅收回了他8月份的證明,而且還聲稱他現在已證明出連續統假設是錯誤的。這種觀點的根本改變僅僅持續了短短的一天,之后,他又再次寫信給米塔格-列夫勒,承認他的兩個證明都有錯誤?低胁皇且淮,而是兩次承認他所犯的數學錯誤,卻仍然搞不清他的連續統假設究意是否正確。

          我們在前一章的后記中曾講過,如果康托對他的猜測作出了證明,那么,他就能夠,比如,很容易地確定超越數的基數。如本章所述,超越數構成了實數的不可數子集,因此,它一定具有基數c只要康托能夠證明他的連續統假設,一切都會變得如此簡單。

          然而,他卻始終沒有成功。盡管他幾十年來付出了艱辛的努力,但是,直到逝世,也未能取得任何進展。這也許是他一生中無法擺脫的最大困擾和遭受到的最大挫折。

          實際上,并非只有喬治·康托一人在探索這個問題的答案。1900年,希耳伯特審視了大量未解決的數學問題,并從中選出23個問題作為對20世紀數學家的重大挑戰。在這23個問題中,第一個就是康托的連續統假設,希耳伯特稱之為一個“……似乎非常有理的猜想,然而,盡管人們竭盡全力,卻沒人能夠作出證明!

          在對集合論這一貌似簡單的猜想作出某些突破之前,數學家們還需要殫精竭慮,努力一番。進入1940年,一個重大的突破在20世紀最非凡的數學家庫特·哥德爾(1906—1978年)的筆下產生。哥德爾證明連續統假設在邏輯上與集合論公理系統彼此相容。也就是說,不可能用集合論公理系統證明連續統假設不成立。如果康托還活著的話,他一定會對這一發現感到無比的振奮,因為這似乎證明了他的猜想是正確的。

          果真如此嗎?哥德爾的結果無疑并沒有證明這一假設。這個問題依然懸而未決。1963年,美國斯坦福大學的數學家保羅·科恩(1934—)證明,我們同樣不能用集合論公理系統證明連續統假設成立。綜合哥德爾和科恩的工作,連續統假設以一種最奇特的方式得到了解決:這一假設不能用集合論公理系統判定其真偽。

          這似乎再現了數學史上我們熟悉的一幕。兩千多年前,歐幾里得引入了平行線公設,隨后數代人絞盡腦汁,試圖從其他幾何公設中推出這一公設。后來我們認識到,這是根本不可能的,因為平行線公設完全獨立于其他幾何原理;我們不能證明它是對的,也無法證明它是錯的。它就像一個離開海岸的孤島,形單影只地自成體系。

          康托的連續統假設在集合論領域中處于類似的地位。是否采用連續統假設完全取決于數學家的口味,這一假設變成了一種選用的理論,而不是必須采用的定理。如果我們要探索在0與c之間不存在其他超限基數的集合論,我們毫無疑問會非常愿意接受連續統假設作為公設,從而滿足我們的需要。相反,如果我們更喜歡另一種不同的集合論,我們同樣可以按我們的需要抵制連續統假設。連續統假設這一性質與歐氏幾何和非歐幾何十分相似。這種異曲同工的結局把當代一個最著名的疑難問題與古希臘的一個經典難題出人意料地聯系了起來。它表明,即使在數學中,事物越變化,越具有相同性。

          那么,康托連續統假設的證明這一懸而未決的問題究竟如何呢?根據20世紀哥德爾和科恩的研究結果,我們看到,康托所面對的不是一項困難的工作,而是一項完全沒有希望的工作。這一事實就像是對這位憂慮的數學家一生的一段辛辣寫照。

          然而,喬治·康托的失敗絲毫無損于他數學遺產的光輝。1888年,他對自己大膽闖入超限王國作出了評價,我們不妨摘錄于此:

          “我的理論堅如磐石;射向它的每一枝箭都會迅速反彈。我何以得知呢?因為我用了許多年時間,研究了它的各個方面;我還研究了針對無窮數的所有反對意見;最重要的是,因為我曾窮究它的根源,可以說,我探索了一切造物的第一推動力!

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