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        第十一章

        作者:威廉·鄧納姆 字數:18818 閱讀:427 更新時間:2011/08/04

        第十一章

        第十一章

        連續統的不可數性

        (1874年) 

        19世紀的數學

          每一個世紀都以一種奇特的方式,顯示不同的數學重點和數學思維方向。18世紀顯然是“歐拉世紀”,因為他在學術領域沒有任何對手,始終居于統治地位,并為后代留下了珍貴的數學遺產。相比之下,19世紀雖然沒有一位特別出類拔萃的數學家,但卻有幸擁有許多優秀數學家,他們將數學疆界推向新的令人意想不到的方向。

          如果說19世紀不屬于某一位數學家,那么,它確實呈現出幾個重要的主旋律。19世紀是抽象與廣義化的世紀,是對數學的邏輯基礎進行深入分析的世紀,這種邏輯基礎曾構成牛頓、萊布尼茲和歐拉的理論基礎。數學不再受“物理實在性”的局限而變得越來越獨立,而在此之前,這種“物理實在性”始終明顯地將數學束縛于自然科學。

          這種脫離實在世界的傾向可以說是以 19世紀前 30年出現的非歐幾何作為其獨立宣言的。我們在第二章的后記中曾說過,當歐幾里得的平行線公設被舍棄而代之以另一命題的時候,出現了一個“奇怪的新世界”。突然間,通過直線外一點,至少可以畫兩條直線與之平行;相似三角形變成了全等;而三角形的內角和也不再等于180°。然而,對于非歐幾何中所有這些似乎矛盾的性質,沒有一個人能夠從中找出邏輯矛盾。

          歐金尼奧·貝爾特拉米證明了非歐幾何與歐氏幾何一樣,在邏輯上是成立的。從而在這兩種幾何之間架起了一座橋梁。我們可以設想,比方說,數學家甲致力于研究歐氏幾何,而數學家乙則專攻非歐幾何。雙方的工作具有等效的邏輯正確性。然而“實在的世界”卻不可能既是歐氏幾何的又是非歐幾何的;其中的一位數學家必定要付出終生的努力去探索一種并非“實在的”體系,那么,他或她是否在虛擲年華呢?

          19世紀,數學家越來越感到對這個問題的答案應該是否定的。當然,物質世界是否如歐幾里得所述,這個問題應留待物理學家去探討。這是一個經驗性問題,是通過實驗與嚴格的觀測來確定的,但卻與這兩種幾何體系的邏輯發展無關。對于一個熱中非歐幾何優美定理的數學家來說,美就足夠了。無需物理學家去告訴數學家哪一種幾何是“實在”的,因為在邏輯王國里,兩者都是正確的。聽以,幾何學的這一根本問題帶有一種解放的性質,將數學從只依賴于實驗室的實驗結果中解放出來。在這個意義上,我們看到,這與當時美術擺脫對現實的依賴的情形十分相似。19世紀初期,畫家的畫布還像以往一樣,僅僅充當了一扇窗戶,人們通過這扇窗戶,可以看到有趣的人和事。當然,畫家可以自由設定基調,選擇顏色,確定明暗,強調某一局部而弱化其他部分;但無論如何,畫家的作品就像一幅屏幕,讓大家看到瞬間靜止的事物。

          19世紀后半期,情況發生了明顯的變化。在一些美術大師如保羅·塞尚、保羅·高庚和樊尚·凡高的影響下,美術作品獲得了自己的生命。畫家可以視畫布為發揮自己繪畫技能的二維戰場。例如,塞尚認為,可以任意將靜物蘋果與梨變形,以增強整體效果。他批評偉大的印象派畫家克勞德·莫奈只有“一只眼睛”,他的意思是說,畫家的藝術不僅僅限于記錄眼睛所看到的事物。

          總之,美術宣告了從視覺現實中的獨立,同時,數學也顯示出其脫離物質世界的傾向。這種并行的情況很有趣,以塞尚、高庚和凡高為代表的繪畫,連同以高斯、鮑耶和羅巴切夫斯基為代表的數學,其哲學內涵意義深遠,影響持久,至今不衰。

          當然,我們也必須看到,這些發展并非得到了人們的一致認可。20世紀末,任何一個到美術館參觀的人,隨時都能聽到種種議論,人們對視覺藝術的現狀,對在大幅畫布上毫無意義地胡亂涂抹,對那些自稱并不反映現實的作品(這些作品常常爭議很大,而又十分昂貴)頗有微詞。藝術家的贊助人則常常抱怨當代藝術家的解放走得太遠了。他們渴望看到他們所熟悉的肖像畫和令人賞心悅目的風景畫。

          在這一方面,數學與美術也十分相似。在現代數學界中也有一種對當今數學狀況不滿的情緒。20世紀的數學家不但偏好非歐幾何革命所帶來的思想解放,而且還推動數學越來越遠地脫離與實在世界的聯系,直到把他們的邏輯結構變得抽象而神秘,以致使物理學家和工程師都如墮煙海,不知其所云。在許多人看來,這種趨勢已把數學變成了一種毫無意義的符號游戲。數學史家莫里斯·克蘭對這種傾向提出了最暢言無忌的批評,他寫道:

          “隨著深奧晦澀的原理被系統地闡述,已遠離了最初的應用領域,而專注于抽象的形式。通過引入上百個分支概念,數學雨后春筍般地擴張為瑣細而龐雜的一個個小門類,它們相互之間很少聯系,且與最初的應用領域很少關聯!

          克蘭認為,數學在其爭取獨立于物理學的來之不易的自由的過程中,走得太遠了,以致成為枯燥而任意的純粹形式主義體系。對他的嚴厲批評,數學界確應認真考慮。

          作為對克蘭批評的回答,令人感興趣的是,數學理論無論有多么抽象,卻常常出人意料地應用于非常確實的實際問題。甚至將數學與實在斷然分開的革命的非歐幾何,也可以在現代物理書籍中找到它的足跡,現代相對論宇宙學就在很大程度上依據非歐幾何建立了宇宙的模型。當然,19世紀的數學家是不可能預見到這種應用的,他們對于非歐幾何,只是為了研究而研究;如今,非歐幾何已成為應用數學的一部分,并成為物理學家的必要工具。數學有時會在最不可思議的地方出現。

          論爭還在繼續。最后,歷史學家可能會看到,今天的數學雖然已遠遠地脫離了實在世界的桎梏,但令人難以置信的是,數學總能在其他學科的研究與發展中承擔不可替代的角色。數學的抽象化將永遠是19世紀留給人類的一筆財富。

          除了非歐幾何的產生所提出的這些問題以外,另一個主要論爭是關于微積分的邏輯基礎。我們可以回想一下,微積分是17世紀末由牛頓和萊布尼茲奠定基礎,而后在18世紀由李昂納德·歐拉進一步完善的。然而,這些先驅者及其同時代的數學天才,都未能對微積分的基礎給予充分注意。這些數學家如履薄冰,基礎上的裂痕隨時可能招致滅頂之災。

          長期以來,人們始終感到,微積分有其問題。問題存在于對“無窮大”和“無窮小”概念的使用上,在牛頓的流數術和萊布尼茲的微積分中,這是必不可少的。微積分的一個核心思想是“極限”。無論微分,還是積分(還不要說級數收斂性和函數連續性的問題),都以這種或那種形式依據于這一概念!皹O限”一詞很有啟發性,并有很強的直感。我們常常說,“我們的耐性或耐力到了極限”。然而,如果我們要從邏輯上準確地說明這一概念,就立刻出現了困難。

          牛頓曾對此作過嘗試。他的流數概念要求他必須觀察兩個量的比,并確定當這兩個量同時趨向于零時,它們的比將會怎樣。用現代術語來說,他講的正是兩個無窮小量的比例極限,但他使用了一個更具特色的詞“最后比”。對于牛頓來說,所謂兩個正在消失的量的最后比

          “……應當理解為,既不是在兩個量消失之前,也不是在它們消失之后,而是正當它們消失時的瞬間比!

          當然,作為數學定義,這沒有什么意義。我們可能贊同牛頓關于不應將極限概念基于兩個量消失之前的比這一觀點,但他所說兩個量消失之后的比又是什么意思呢?牛頓考慮的似乎是當分子和分母剛好同時成為零時

         

        其說的邏輯困境。

          那么,萊布尼茲如何走出這一泥淖呢?他同樣需要闡明極限過程中發生的變化,但他傾向于通過對“無窮小量”的討論來探索這一問題。萊布尼茲所謂的無窮小量盡管不是零,但卻小于任意有限量。他的無窮小量,猶如化學中的原子一樣,是不可再分的數學單元,是最接近于零的量。但與此相關的哲學問題顯然使萊布尼茲感到困惑,他不得不作出如下晦澀的說明:

          “當我們談及無窮小量……(即在我們的知識中是最小的),它可以被看作是……無限小……如果有人想理解這些(無窮。,可以想象它們是最終的東西……這就足夠了……如此假設是充分的……即使認為這樣的東西是不可能的,也完全可以利用它們作為計算的手段,就像代數中用虛根有極大好處一樣!

          在這里,除了萊布尼茲對復數的偏見以外,還可以看到他關于數學的令人莫名其妙的陳述。顯然,概念的含糊不清(特別是構成微積分基礎的概念)使萊布尼茲猶豫不定。

          當數學家們正因微積分遺留的邏輯基礎問題而深感不安時,又受到來自上帝的仆人——喬治·貝克萊大主教(1685—1753年)的強有力的攻擊。貝克萊大主教在他刻薄的文章《精神分析學家或神學家致不信教的數學家》中嘲弄那些批評神學基礎是一種虛幻信仰的數學家,攻擊他們所信奉的微積分,其邏輯基礎同樣十分脆弱。貝克萊采取以子之矛陷子之盾的策略:

          “可以說,所有這些(來自數學的)觀點都是那些對宗教過于苛求的人設想和信奉的,他們自稱只相信親眼所見……那么如果他們能消化二階或三階流數和微分,就不會因為某一神學觀點而反胃!

          如果說這些挖苦還不夠刻薄的話,貝克萊又發出了更加無情的嘲笑:

          “所謂流數是什么?數學家們說,是瞬時增量的速度。那么,這些瞬時增量又是什么?它們既不是有限量,也不是無窮小量,然而又不是虛無。我們難道稱它們為消失量的幽靈嗎……?”

          這真糟透了,微積分的基礎居然成了“消失量的幽靈”?梢韵胂,對于數以百計的數學家們來說,貝克萊的冷嘲熱諷會使他們多么焦躁不安。

          數學界逐漸認識到,他們必須正視這一令人頭痛的問題?v觀18世紀,數學家們對微積分在實際應用上的巨大成功過于樂觀,以致阻礙了對其基礎理論的研究。但是數學界內部日益增多的關注及外界貝克萊的傲慢無禮,已使他們別無選擇。這個問題已經迫在眉睫,不能不解決了。

          這樣,我們看到一個又一個才華橫溢的數學家開始探討這一基礎理論。建立嚴格的“極限”理論是一個困難的漫長的過程,因為這一概念的內涵非常深奧,需要精確的推理和對實數系性質的深刻理解,這絕非易事。但數學家們對這個問題的研究已逐漸有所突破。1821年,法國數學家奧古斯坦-路易·柯西(1789—1857年)提出了如下定義:

          當一個變量逐次取的值無限趨近一個定值時,如果最終使變量的值與該定值的差要多小就有多小,那么,這一定值就稱為所有其他值的極限。

          我們看到,柯西的定義避免了使用像“無窮小”樣含糊不清的詞,他沒有將自己束縛于確定變量達到極限時的瞬間會如何如何。因而,這里也就不會出現消失量的幽靈。相反,他只是說,如果我們能夠使變量的值與某一定值的差要多小就有多小,那么,這一定值就是該變量的極限。這就是所謂“極限回避”,柯西的定義繞開了關于達到極限的瞬間會發生什么這一哲學上的障礙。在柯西看來,最后瞬間的結局是完全不相干的,重要的是我們已經盡可能地澄清了極限這一概念,這才是我們所需要的。

          柯西的定義產生了深遠的影響,以這一定義為基石,他繼續闡明了微積分的許多重要概念。數學家們經過漫長的道路,進一步完善了基于這一極限定義的微積分,有力地反擊了貝克萊大主教的“關心”。然而,柯西的陳述尚有一些不足之處。首先,他講到,一個變量“趨近”某一極限,僅憑幻想就提出了一個關于運動的不明確的概念;如果我們必須依靠直覺來闡述關于點的移動和相互接近的概念,那么,我們僅僅依賴直覺提出“極限”概念難道就會更好些嗎?其次,柯西使用的“無限”這一措詞看起來也有點兒不確定;其意義需要進一步明確。最后,柯西的定義完全是文字敘述,有必要代之以簡潔、明確、清晰的數學符號。

          于是,便出現了德國數學家卡爾·維爾斯特拉斯(1815—1897年)及其追隨者。他們使用一種讀來有些拗口的方法,即“微積分的算術化”,支撐起微積分的基礎。維爾斯特拉斯學派的語言是“當x趨近于a時,函數f(x)以L為極限”,可以嚴格地表述為:

          對于任意給定的ε>0,總存在著一個δ>0,所以,如果0<|x—a|<δ,那么,|f(x)-L|<ε能夠成立。

          不必全面理解這一定義,我們就可以清楚地看出,這個定義與柯西的定義明顯不同。維爾斯特拉斯的定義幾乎全部使用了數學符號,而且無一處暗示某一量向其他一些量的移動?傊,這是一個極限的靜態定義。另外,維爾斯特拉斯的定義與前面所引牛頓和萊布尼茲的含糊不清、幾乎引人發笑的陳述相比,大相徑庭。維爾斯特拉斯邏輯嚴謹的定義雖然缺乏其前輩的某些趣味和魅力,但在數學上卻是無懈可擊的。在此基礎上建立起的微積分大廈一直矗立至今!

        康托與無窮的挑戰

          科學中常常會出現這種情況,一個問題的解決打開了解決另一個問題的大門。隨著越來越少地依賴直覺構造概念而越來越多地依靠維爾斯特拉斯數學中的ε和δ,數學家們開始從更高的視角嚴格地審查微積分。他們得到了一些非常奇特和令人不安的發現。

          例如,考慮有理數與無理數兩者之間的區別。有理數全都可以寫成分數的形式,可以表示為整數的比。如果把有理數化為小數,則很容易確定:

        循環小數,而是無限不循環小數。

          我們可以說,不論有理數,還是無理數,在實數軸上是處處稠密的,即:在任意兩個有理數之間,分布著無窮多個無理數;反之亦然,在任何兩個無理數之間也分布著無窮多個有理數。自然而然,我們會放心地推斷,實數軸上一定均勻地分布著兩個基本相等的巨大的有理數族與無理數族。

          然而,19世紀,隨著時間的推移,越來越多的數學發現表明,與上述認識相反,這兩個數族并不相等。這些發現一般需要非常高深的技巧和精妙的推理。例如,要證明函數在每一個無理點連續(直覺上不間斷),并在每一個有理點不連續(間斷),就必須證明在每一個有理點不存在連續的函數,而在每一個無理點不存在不連續的函數。這里有一個明顯的指標,即在有理數族與無理數族之間不存在對稱或平衡。這就表明,從某種根本意義上說,有理數與無理數是不可交換的數族,但當時的數學家對這兩個數族的根本性質,尚不十分明了。

          因而,對實數系性質的深刻理解就促成了我們本章將要討論的定理的產生。雖然柯西、維爾斯特拉斯及其同事們成功地用“極限”概念建立了微積分大廈,但數學家們越來越清楚地認識到,最重要、最基本的問題是將微積分最終置于集合的嚴格基礎之上。探索這個問題,并單槍匹馬地創立了奇妙的集合論的是一位時而被人惡意中傷,又曾一度精神崩潰的天才,他的名字叫喬治·費迪南德·路德維!し评铡た低。

          康托1845年出生于俄國,但他12歲的時候,隨家移居到德國。宗教是康托家庭的重要組成部分?低械母赣H原是猶太教徒,后來皈依了新教,而他的母親則生來就是羅馬天主教徒。由于家庭中這種混合的宗教信仰,所以,毫不奇怪,小喬治對神學產生了一種終生的興趣,特別是那些與無窮性質有關的神學問題對成年康托的數學產生了很大的影響。

          并且,康托的家庭還顯示了明顯的藝術素質。在康托家庭中,音樂受到特別的尊崇?低杏袔讉親戚在大交響樂團演奏。喬治本人是一個很不錯的素描畫家,他留給后人一些很能表現他天才的鉛筆畫?傊,我們可以說康托具備了“藝術家”的天性。

          這位敏感的年輕人特別擅長數學,1867年,他在柏林大學獲得博士學位。在此,他從師于維爾斯特拉斯,并完全掌握了前面所介紹的有關微積分的嚴謹的推理方法?低袑祵W分析的深入研究使他越來越多地考慮各種數集之間的本質區別。特別是,他開始認識到,創立一種比較數集大小的方法是十分重要的。

          表面看來,比較數集大小似乎輕而易舉:只要會數數,就會比較。如果有人問你,“你左手與右手的手指一樣多嗎?”你只要分別數一數每只手的手指,確認每只手都有5個手指,然后,就可以作出肯定的回答?磥,原始的“數數”方法似乎對于確定更復雜的“同樣大小”或“相同基數”概念也是必要的。然而,喬治·康托以一種貌似天真的方法,顛倒了前人傳統的觀念。

          我們來看一看他是如何論證的。首先假設我們生活在一種數學知識非常有限的文化中,人們最多只能數到“3”。這樣,我們就無法用數數的方法來比較左手與右手的手指數目,因為我們的數系不能使我們數到“5”。在超出我們計數能力的情況下,是否就無法確定“相同基數”了呢?完全不是。實際上,我們不必去數手指,而只需將兩手合攏,使左手拇指與右手拇指,左手食指與右手食指……一一對齊,就能夠回答這個問題了。這種方法展示了一種純粹的一一對應關系,然后,我們可以回答,“是的,我們左手與右手的手指一樣多”。

          我們再來看另一個例子。假設許多觀眾涌入一個大禮堂。那么,觀眾與座椅是否一樣多呢?要回答這個問題,我們可以分別數一數觀眾與座椅,然后將兩個數字加以比較,但這種方法過于繁瑣。我們其實只需要求禮堂中的所有觀眾坐下。如果每個人都有座位,或者,每個座位都有人,那么答案就是肯定的,因為坐下這個過程已顯示了一種完全的一一對應關系。

          這些例子闡明了一個關鍵的論據,我們無須去數集合中元素的個數,以確定這些集合是否具有同樣數值。相反,根據一一對應關系來確定同等數量的概念已成為一種更原始和更基本的概念;相形之下,數數的方法卻成了更復雜和更高級的方法。

          喬治·康托對這一概念作出了如下定義:

          如果能夠根據某一法則,使集合M與集合N中的元素建立一一對應的關系……那么,集合M與集合N等價。

          如果集合M與集合N符合上述康托的等價定義,那么,按現代學家的語言,集合M與集合N“等勢”或具有“相同基數”。然而,我們暫且拋開這些術語不談。這一定義之所以重要,就在于它并未限定集合M與集合N必須包含有限個元素;因此它同樣適用于那些包含無限多個元素的集合。

          據此,康托進入了一片未開墾的處女地。在數學發展的歷程中,人們始終以一種懷疑的眼光(即使不是敵對的眼光)看待無窮,并盡可能回避這一概念。從古希臘時期直到康托時代,哲學家和數學家們都只承認“潛無窮”的存在。也就是說,他們能夠在如下意義上同意整數集是無窮的:對于整數集中的任何一個數我們都能找到下一個比它更大的整數,但我們決不可能窮舉所有整數。例如,可以想象把每一個整數都寫在一張紙條上,然后把這些紙條放進一個(非常大的)袋子里,那么,即使地老天荒我們的工作也永遠不會終止。

          但是,康托的前輩們反對“實無窮”的概念——即,他們反對認為這一過程能夠結束或袋子能夠裝滿的觀點。用卡爾·弗里德里!じ咚沟脑捳f:

          “……我首先反對將無窮量作為一個實體,這在數學中是從來不允許的。所謂無窮,只是一種說話的方式……”

          康托不同意高斯的觀點。與其他無窮集相比,他極愿意將這個裝有所有整數的袋子看作一個自足的和完整的實體。與高斯不同,他不是將“無窮”僅僅看作一種說話的方式而不予考慮。對于康托來說,“無窮”是一個應予以高度重視的確實的數學概念,值得我們對其進行嚴格的理性論證。

          這樣,喬治·康托僅僅依據這兩個基本前提(即可以通過一一對應的方法來確定相同基數和實無窮是一個確實的概念),就創立了最令人興奮和意義十分深遠的理論。這一理論使我們進入了一個難以捉摸的奇特世界,雖然一些數學權威時時嘲笑他的努力,但康托沒有因此而氣餒。終于,憑著天才和勇氣,康托以完全前所未有的方式,正面探討無窮。

          我們首先設自然數集N={1,2,3,……},并設偶數集E={2,4,6,……}。注意到這兩個數集都是完全集,而不必顧忌他們的無窮性質。根據康托的定義,我們可以很容易看出集合N與集合E具有“相同基數”,因為我們可以列出這兩個數集之間單純的一一對應關系:

          

          這種對應關系明確地顯示出,N集中的每一個元素都被一個、并且只被一個偶數(即其2倍)所指定;反之,每一個偶數也都被一個、并且只被一個自然數(即其一半)指定?低姓J為,這兩個無窮數集顯然是等價的。當然,乍一看,似乎很矛盾,這里人們本來會以為,偶數的個數應該是整數個數的一半。那么,我們依據什么才能夠非難康托的演繹推理呢?我們或者拋棄實無窮的概念,甚至否認自然數集是一個自足的實體;或者拒絕承認簡明的相同基數定義,而把它看作是荒謬的。但只要我們承認這兩個前提,那么,就不可避免地會得出結論:偶數的個數絕不少于自然數。

          同樣,如果設Z={……-3,-2,-1,0,1,2,3,……},即所有整數(正數、負數和零)的集合,那么,我們會看到,N與Z也有相同的基數,因為它們可以構成如下一一對應關系:

          

          對于這一對應關系,我們可以進行檢驗,集合N中的每一個自然數n都與集合Z中的

         

          相對應。

          據此,康托邁出了勇敢的一步。他說,任何能夠與集合N構成一一對應關系的集合都是可列或可數無窮集。特別是,他引進了“超限”基數的新概念,用以表示可數集中元素的個數。他選用希伯來文的第一個字母0(讀作“阿列夫零”)來表示超限基數。

          康托通過對無窮集的研究,創造了一種新的數字和一種新的數字類型。我們可以想象,他的許多同代人都會對這個異想天開的可憐蟲搖頭嘆息。然而,不要忘記在我們所假設的原始數學文化中,人們只能數到三。在這種文化中,一個富有革新精神的天才也許會突發靈感,通過引入一個新的基數五來擴大原有數系:如果一個集合的元素能夠與她右手的手指一一對應,那么,她就可以說,這個集合包含了個元素。

          這樣一個定義是非常有效的,它提供了一個明確的方法,以確定一個集合在什么情況下具有五個元素(只要手指不受損傷)。在這個意義上,她的手指就成為確定集合是否具有五個元素的標準參考點。這一切看起來是非常合理的。

          而這恰恰是康托的證明方法,所不同的只是他采用自然數集合N作為擴大我們數系的基準。對于他來說,N是基數為0的原型集合。引入符號

         

         

          如果我們接下來討論有理數集合Q,情形又會如何呢?如前所述,有理數是處處稠密的。在這個意義上說,有理數與整數不同,整數是一個緊跟一個,循規蹈矩地分布在數軸上的,其中的每一個數字都與前一個數字保持相同的距離。實際上,在任何兩個整數之間(比如在0與1之間),都有無限多的有理數。因此,任何人都會猜想,有理數的個數遠遠超過自然數!

          

        明方法是在有理數集與自然數集之間構成一一對應的關系。為了弄清他是怎樣構成這種對應關系的,我們把有理數排列成如下形式:

          

          注意第一列中所有數字的分子是1,第二列所有數字的分子是-1,等等;而第一行中所有數字的分母為1,第二行所有數字的分母為2,依此類推?傊,任何分數,都能夠在這一排列中找到它的固定的歸宿。例

          

          這一排列包含了集合Q中的所有元素。

          現在,我們按照這一排列中箭頭所示方向,列出集合Q的元

          素,由此便產生了以下對應關系:

         

        個有理數相對應;更令人吃驚的是,每一個有理數也將被一個且僅被一個自然數所指定。根據康托的定義,我們可以直接得出結論:有理數與自然數一樣多!

          康托1874年論文中關于連續統不可數性的最初證明

          至此,似乎所有的無窮集都是可列的,也就是說,每一個無窮集都能與正整數構成一一對應的關系。但是,在看到康托1874年的一篇論文后,數學界徹底放棄了這個一相情愿的念頭。這篇論文有一個平鋪直敘的題目:《論所有代數數集合的性質》。在這篇論文中,康托明確地提出了不可數無窮集的問題。

          僅從文章平凡的標題來看,人們絲毫不會感到這篇論文的革命性。這恰恰與美術界的根本變革形成了鮮明的對照,美術作品常常明顯地表現出它的革新。1874年,任何人,即便是門外漢,只要在巴黎看到過莫奈的作品,都會對他“印象派”的繪畫方法感到震驚。只需隨意看一眼,也會從莫奈表現光的手法中看出他的作品與其前輩,如德拉克洛瓦或安格爾,有著明顯的區別。顯然,莫奈作了某些根本的變革。同是1874年,喬治·康托在其劃時代的數學論文中,開創了同樣不乏革命性的事業。然而,這一驚人的數學思想恰恰缺乏美術作品那樣的直接沖擊。

          康托發現的不可數集是所有實數的集合。實際上,他1874年的論文指出,沒有任何實數區間(不論其長度多么。┠軌蚺c自然數集構成一一對應的關系。他最初的證明使他進入了分析的王國,同時,這一證明需要借助某些相關的比較先進的數學工具。然而,1891年,康托再次回到這個問題上來,提出了一個非常簡單的證明。我們下面將討論這個證明!

        偉大的定理:連續統的不可數性

          這里“連續統”一詞的意思是指某一實數區間,我們可以用符號(a,b)來表示(圖11.1),即

         。╝,b)表示滿足于不等式a<x<b的一切實數x的集合

          在以下的證明中,我們將要證明的不可數區間是(0,1),即所謂“單位區間”。在這一區間的實數都可以寫成無窮小數。例如,

         

          ……出于技術上的原因,我們必須謹慎地避免采用兩個不同的小數來表示 

        在這種情況下,我們選擇以一連串0結尾的小數展開式,而不選擇以一連串9結尾的小數,這樣,在(0,1)區間中的任何實數都只有一種小數表示。

          我們現在來看康托關于區間(0,1)不可數的證明?低械淖C明采用了反證法,他從假定自然數集合N與區間(0,1)內的實數存在一一對應關系這一前提出發,然后,由此推導出邏輯矛盾。這一漂亮的證明可以當之無愧地排在偉大的定理之列!

        定理 0與1之間的所有實數不可數!

        證明 我們首先假定區間(0,1)內的實數能夠與自然數一一對應,然后,從這一假定出發最終推出邏輯矛盾。為了講清楚康托的論證,我們假定存在如下的對應關系:

          

          如果這是真正的一一對應關系,那么,右邊一列區間(0,1)內的每一個實數都應該唯一地與左邊一列中的一個自然數相對應?低卸x了一個區間(0,1)內的實數b,令b=0.b1b2b3b4b5……bn……。其中:

          選擇b1(b的第一位小數)為與x1的第一位小數不同且不等于0或9的任何數字。

          選擇b2(b的第二位小數)為與x2的第二位小數不同且不等于0或9的任何數字。

          選擇b3(b的第三位小數)為與x3的第三位小數不同且不等于0或9的任何數字。

          一般地,選擇bn(b的第n位小數)為與xn的第n位小數不同且不等于0或9的任何數字。

          為便于理解這一過程,我們可以參照上述的對應表。x1的第一位小數為“3”,因而,我們可以選擇b1=4;x2的第二位小數是“0”,我們可以選擇b2=1;x3的第三位小數是“2”,我們選擇b3=3;x4的第四位小數是“8”,所以,我們選擇b4=7;等等,依此類推。所以,我們的數字b就是

          b=0.b1b2b3b4b5……=0.41378……

          現在,我們只需要來看兩個十分簡單,但卻是相互矛盾的事實:

          (1)因為b是一個無窮小數,所以,b是實數。由于我們禁止選擇0或9,因而,數字b既不可能是0.00000……=0,也不可能是0.99999……=1。換言之,b一定嚴格地位于0與1之間。所以,b一定會在我們上述對應表的右邊一列中出現。但是,

          (2)b不可能出現在數字x1,x2,x3,……xn,……中的任何位置,因為 b與x1的第一位小數不同,b≠x1;b與x2的第二位小數不同,b≠x2;總之,b與xn的第n位小數不同,b≠xn。

          這樣,(1)告訴我們b一定位于上表的右列,而同時(2)又告訴我們,b不可能列入上表,因為它已被明確地“設計”為不與x1、x2……xn等等數字中的任何一個數字相同。這一邏輯矛盾說明,我們最初的假定,即單位區間內的所有實數與自然數之間存在一一對應的關系是不正確的?梢詳喽,這種對應關系是根本不可能的,所以,0與1之間的所有實數是不可列的。證訖。

          我們在選擇b的數值時之所以避免采用“9”,還有一個原因。我們再來看看上述對應表,但這一次我們選用9作為bn的數值(當然,按規定,它們必須與xn的第n位小數不同)。那么,我們可以選擇b1=4,b2=9,b3=9,b4=9,等等。因而,我們最后選定的數字是b=0.49999……。

          

          這樣,我們所尋求的矛盾(確定一個不能列入表右列的實數b)就消失了。但是,如果我們在選定b值時避免采用“9”,我們就可以消除因無盡小數的這一雙重表示所造成的技術陷阱,從而使證明有效。

          康托自己顯然對這個證明感到非常滿意,他稱這一證明“……很不尋!驗樽C明方法非常簡單”。證明中他把焦點集中在右邊一列小數的某些位置特殊的數字上,這些數字恰好連成一條下降的對角線——第一個實數的第一位小數,第二個實數的第二位小數,等等。這一方法因此被稱為康托的“對角線法”。

          應特別注意的是,在證明中,我們并沒有依賴上述假定的對應關系中的具體數字去說明問題。僅僅通過抽象的討論就證明了這種一一對應的關系是不可能存在的。

          持懷疑態度的人常常一方面承認康托找出的數字b不能出現在原始對應表中,一方面又提出以下補救方法:為什么不將b與自然數1對應,并將表中右邊的每一個數字都下移一個位置呢?這樣,2將與x1對應,3與x2對應,等等。因而,康托所推出的矛盾似乎也就消失了,因為b出現在表中右邊一列的最上端。

          然而,對于這些懷疑論者,遺憾的是,康托可以悠閑地坐等他們將最初的對應表調整完畢,然后再次應用對角線法找出一個新表中沒有的實數b'。如果我們多疑的朋友又將b'插入了表的最上端,那么,我們可以如法炮制,得出一個表中不存在的b"?偠灾,在N與(0,1)之間是不可能存在一一對應關系的。至此,我們神經過敏的朋友心中的疑團一定會煙消云散了。

          這樣,康托證明了許多無窮集合(特別是有理數集合)都具有基數0。然而,盡管同是無窮,0與1之間的實數似乎是“更高一級的”無窮。這一區間內的點如此之多,其數量絕對超過了正整數。

          在這一意義上,單位區間(0,1)不失一般性。對于任意給出的有限區間(a,b),我們可以引入函數y=a+(b-a),使區間(0,1)內的點(x軸上的點)與區間(a,b)內的點(y軸上的點)之間建立起一一對應的關系,如圖11.2所示。這種一一對應的關系保證了區間(0,1)與(a,b)具有相同的(不可數)基數。也許會令人感到吃驚的是,區間的基數與其長度無關;0與1之間的所有實數并不比2與1000之間的所有實數少(在這種情況下,函數y=998x+2提供了必要的一一對應關系)。初一看,這似乎是違反直覺的,但當人們熟悉了無窮集合的性質,便不再相信幼稚的直覺。

          在此基礎上,再向前邁一小步,我們便可以證明,所有實數的集合同樣具有與區間(0,1)相同的基數。這一次,確定一一對應關系的函數是

         

          如圖11.3所示,區間(0,1)內的每一個點x都有唯一的一個實數y與它相伴,反之,每一個實數y,也都有一個且僅有一個區間(0,1)內的點x與之相對應?傊,這就是必要的一一對應關系。

          現在,我們可以跟隨康托,再向前邁出勇敢的一步。正像我們曾把N作為基本集合而引入了第一個超限基數0一樣,區間(0,1)也將作為定義一個新的、更大的超限基數的標準。也就是說,我們可以規定這一單位區間的基數為c(英文“連續統”一詞的第一個字母)。我們前面的討論表明,不僅區間(0,1)有基數c,而且,任何有限長的區間,以及所有實數集合本身,都具有這一相同的基數。另外區間(0,1)的不可數性說明,c是一個與0不同的基數。這樣,康托就用他的方法建立了超限數的序列。

          所有這些討論在認識有理數集與無理數集的內在區別方面開始顯示出它的重要意義。有理數集與無理數集的區別絕不僅僅是前者可以寫成有限小數或無限循環小數而后者則不能的問題。為了更清楚地說明這一點,康托只需要再增加一個結果:

          

        0·定理U 如果集合B與C是可數的,而集合A的所有元素屬于B或者屬于C(或者屬于兩者),那么,集合A是可數的。(在這種情況下,我們說A是B與C的并集,記作A=B∪C。)

        證明 所設的B與C的可數性保證了它們各自與自然數的一一對應關系:

          

          在集T合B的元素中均勻地插入集合C的元素,我們可以在N與A=B∪C之間建立起一一對應的關系:

          

          所以,集合A也是可數的。這一定理說明,兩個可數集的并集也是可數的。證訖。

          現在我們可以證明有理數集與無理數集的一個較重要的區別:我們已證明前者是可數的,對于后者,我們將斷定它不可數。因為,假設無理數集是可數集。那么,根據定理U,所有有理數(我們已證明其可數性)與所有無理數(我們假設其可數)的并集也應該同樣是可數集。但是,這個并集恰恰是全部實數的集合,是一個不可數集。用反證法,我們可以斷定,無理數過于豐富,以致無法與集合N構成一一對應關系。

          不太正規地說,這意味著無理數在數量上大大超過有理數。實數遠比有理數多的原因恐怕只能解釋為實數軸幾乎被漫無邊際的無理數所淹沒。數學家有時說“大部分”實數,常常是對無理數而言;至于有理數集,公認是一個非常重要的無窮集,盡管有理數在數軸上處處稠密,然而與無理數相比不過是滄海一粟。數不勝數的有理數當初是如此豐富,現在在實數集中卻突然變得似乎無足輕重了。其實,有理數果真那樣多嗎?并非如此,對于康托來說,從基數的意義上講,有理數的確非常稀少,而無理數則占據著統治地位。

          為深入探索微積分的奧秘,康托證明了一些奇特的定理。他的研究對于認識實數集之間的內在區別當然有著重要意義,并有助于解釋某些迄今為止尚不能解釋的現象。如果說康托開始研究的還只是微積分的算術化問題的話,那么,他由此創立的集合論則呈現出極大的活力,對此,我們將在下章進行討論!

        后記

          所有這一切已足以震古爍今,但康托1874年的論文中還包含著一個更加令人震驚的結果?低胁坏C明了實數的不可數性,而且還把這一性質應用于一個長期困擾數學家的難題——超越數的存在。

          我們已經注意到,所有實數的集合可以再細分為相對稀有的有理數集和比較豐富的無理數集。然而,讓我們回憶一下,在第一章的后記中曾提到,實數還可以詳盡無遺地分為兩個相互排斥的數系——代數數和超越數。

          代數數看來可以構成一個龐大的集合。所有有理數都是代數數,因為 

        合。相比之下,超越數就極難得到。雖然歐拉最早猜測超越數的存在(即,并非所有實數都是比較馴順的代數數簇),但第一個具有某種形式的超越數實例卻是由法國數學家約瑟夫·劉維爾于1844年給出的。1874年,當康托開始研究這個問題的時候,林德曼關于π是超越數的證明還沒有出臺。直到將近10年以后,這個證明才問世。也就是說,在康托發展他的無窮論時,人們還只發現了非常少的超越數。也許,這些超越數只是實數中的一種例外,而不是一種常規。

          然而,喬治·康托已習慣于將例外轉變為常規,在超越數問題上,他又一次成功地實現了這種轉變。他首先證明了全部代數數的集合是可數的;谶@一事實,康托開始探索看似稀有的超越數問題。

          首先設任意區間(a,b)。他已證明在這一區間中的代數數構成了一個可數集;如果超越數也同樣可數,那么,根據定理U,(a,b)本身也應該可數。但是,他已經證明,區間是不可數的。這就表明,

          無論在任何區間,超越數在數量上都一定大大超過代數數!

          從另一個角度說,康托認識到,在(a,b)區間實數遠遠多于代數數,這也許就是代數數相對比較少的原因。然而,所有這些實數是從哪里來的呢?它們必定是極大量存在的超越數。

          這是一個真正引起爭論的定理,因為人們畢竟只知道極少數幾個非代數數的存在。而康托卻十分自信地說,絕大多數實數是超越數,但他在作出這種推斷的時候卻沒有展示出任何一個具體的超越數實例!相反,他只是“數”區間中的點,并由此認為,區間中的代數數只占很小一部分。這種證明超越數存在的間接方法真是令人吃驚。一位受人歡迎的數學史作家埃里克·坦普爾·貝爾以充滿詩意的語言概述了這種情況:

          “點綴在平面上的代數數猶如夜空中的繁星;而沉沉的夜空則由超越數構成!

          這就是康托1874年劃時代的杰出論文所留下的寶貴遺產。許多數學家看到康托的結論,都驚異地搖頭或干脆表示懷疑。在保守的數學家看來,比較無窮的大小簡直就像是這位有點兒神秘兮兮的年青學者搞的一場浪漫而荒唐的惡作;斷言有大量的超越數存在,卻又舉不出一個實例,真是十足的愚蠢。

          喬治·康托聽到了這些批評。但是,他堅信他的事業是正確的,他所做的還僅僅是開始。他后來的研究與他目前的這些發現相比,確實更見其輝煌。

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