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        第九章

        作者:威廉·鄧納姆 字數:9965 閱讀:626 更新時間:2011/08/04

        第九章

        第九章

        李昂納德·歐拉非凡的求和公式

        (1734年)

         通曉數學的大師

           在漫長的數學史中,李昂納德·歐拉的遺產是無與倫比的。他博大精深和空前豐富的著述令人嘆為觀止。歐拉厚厚的70多卷文選,如此深遠地改變了數學的面貌,足以證明這位謙和的瑞士人的非凡天才。實際上,面對他數量奇多,質量極高的著述,人們的第一個感覺便是,他的故事似乎是一部天方夜譚,而不是確鑿的史實。

          這位偉人于1707年出生在瑞士的巴塞爾。毫不奇怪,他在年輕時即表現出超人的天賦。歐拉的父親是一個加爾文教派的牧師,他設法安排年輕的李昂納德師從著名的約翰·伯努利。歐拉后來常;貞浧鹋c他的老師伯努利在一起的這段時光。小歐拉經過一星期的學習準備,然后在每個星期六下午的指定時間里,去向伯努利請教一些數學問題。伯努利并非總是仁慈和藹,最初常常為了學生的不足而發火;而歐拉則更加勤奮,盡可能不以瑣事去煩擾老師。

          不論約翰·伯努利的脾氣是否很壞,他很快就發現了他學生的非凡天才。不久,歐拉就開始發表高質量的數學論文。19歲時,歐拉以其對船上安裝桅桿的最佳位置的精彩分析而榮獲了法國科學院頒發的獎金。(值得注意的是,那時,歐拉還從未見過海船。

          1727年,歐拉成為俄國圣彼得堡科學院的成員。當時,俄國建立科學院,是為了與巴黎和柏林的科學院相匹敵,以實現彼得大帝的夢想。在移居俄國的學者中,有一位是約翰的兒子丹尼爾·伯努利。通過丹尼爾的影響,歐拉謀得了職位。但奇怪的是,由于自然科學方面沒有空缺,歐拉只能就任醫學和生理學方面的職位。然而,職位畢竟是職位,歐拉欣然領受。開始的路程十分艱難,他甚至在俄國海軍當了一段醫官。終于,1733年,數學教授丹尼爾·伯努利辭職返回瑞士,歐拉接替了丹尼爾的職位。

          當時,歐拉已顯示出后來成為他整個數學生涯鮮明特征的過人精力和巨大創造力。雖然在18世紀30年代中期,歐拉的右眼開始失明,而且,不久就完全失明,但是,傷殘并沒有影響他的科學研究。他不屈不撓,解決了各個數學領域(如幾何學、數論和組合)及應用領域(如機械學、流體動力學和光學)中的種種疑難問題。只要想象一下一個人在失明后還要向世界揭示光學的奧秘,我們就會受到強烈的感染和激勵。

          1741年,歐拉離開了圣彼得堡科學院,并應腓特烈大帝的邀請,成為柏林科學院院士。在一定程度上,他離開俄國是因為他不喜歡沙皇制度的壓抑。但遺憾的是,柏林的情況也并不理想。腓特烈嫌他太單純、太文靜、太謙和。這位德國國王在一次提到歐拉的視力問題時,竟稱歐拉為“數學獨眼龍!庇捎陔杼亓业倪@種態度,以及科學院內部的一些明爭暗斗,歐拉于俄國葉卡捷琳娜二世在位期間應邀返回了圣彼得堡。他后來一直住在俄國,直到17年后逝世。

          歐拉的同時代人稱他是一個善良和寬宏大量的人,他喜歡自己種菜和給他13個孩子講故事。在這一方面,歐拉是一個受人歡迎的人物,恰與孤僻、緘默的艾薩克·牛頓形成鮮明對照,而牛頓確是少有的一位可與他比肩而立的數學大師。我們從中欣慰地看到,這一等天才并非個個都是神經質。甚至在1771年,歐拉的另一只眼睛也失明后,他仍然保持著這種溫良的性格。盡管歐拉雙目全盲,而且經常疼痛,但他依然堅持向他的助手口授他奇妙的方程和公式,在助手的幫助下,繼續從事數學著述。正如失聰沒有阻礙下一代的路德維!ゑT·貝多芬的音樂創作一樣,失明也同樣沒有阻礙李昂納德·歐拉的數學探索。

         

          歐拉的整個數學生涯,始終得益于他驚人的記憶力,對此,我們只能稱他為超人。他在進行數論研究時,不但能夠記住前100個素數,而且還能記住所有這些素數的平方、立方,甚至四次方、五次方和六次方。歐拉可以很輕松地背誦出諸如2414或3376的數值,而其他人卻要忙著查表或筆算。但這還只是他顯示非凡記憶力的一些小把戲。他能夠進行復雜的心算,其中有些運算要求他必須要記住50位小數!法國物理學家弗朗索瓦·阿拉戈說,歐拉計算時似乎毫不費力,“就像人在呼吸,或鷹在翱翔一樣輕松!背艘酝,歐拉還能夠記住大量的論據、引語和詩歌,包括維吉爾的《埃涅阿斯紀》全篇,這部史詩是歐拉幼年時誦讀的,時隔50年后,他依然能夠一字不差地背出全文。任何一位小說作家都不敢編造出一個具有如此驚人記憶力的人物。

          歐拉無與倫比的名望是與他的數學論著密不可分的。他的筆下,既有一些高難度的數學著作,也有一些初級數學書,而且,他并不認為如此就降低了身份。也許,他最著名的著作是他1748年發表的《無窮小分析引論》。這部不朽的數學論著可以與歐幾里得的《原本》相比美。歐拉在這部著作中評述了前輩數學家的發現,組織并清理了他們的論證,其論著之精妙,使得絕大部分前人著作都顯得陳腐。除《引論》一書外,1755年,歐拉出版了一卷本的《微分學原理》,1768—1774年,又相繼出版了三卷本的《積分學原理》,從此確定了數學分析的方向,并一直延續至今。

          歐拉所有著作的論述都非常清楚易懂,并且,他所選用的數學符號,都是為了將他的意思表達得更加清晰明了,而不是含混不清。對于今天的讀者來說,歐拉的數學著述堪稱是最早一些具有現代數學意味的著述;這當然不僅是因為他使用了現代數學符號,而且,還因為他的影響十分深遠,所有后來的數學家都采用了他的文體、符號和公式。并且,歐拉在寫作時,想到了并非所有讀者都能像他那樣,具有驚人的學習數學的能力。歐拉不是以往那類數學家,他們雖然對問題有深邃的見解,但卻無法把自己的意思傳達給旁人。相反,他深深地喜愛教學。法國數學家孔多塞在談到歐拉時有一句精辟的話:“他喜歡教誨他的學生,而不是從炫耀中求取滿足!边@正是對一個人的高度贊美,因為歐拉如果喜歡炫耀,他的數學才干確實足以令任何人吃驚。

          任何人在談到歐拉的數學時,都會提到他的《全集》,這是一部73卷的文集。這部文集匯編了他一生分別用拉丁文、法文和德文撰著的886卷書和文章。他的著作數量極多,產出速度極快,甚至在他完全失明后也是如此,據說,他的著作直到他謝世后47年才出版完畢。

          如前所述,歐拉并未將他的工作局限于純數學領域。相反,他廣泛涉獵聲學、工程學、機械學、天文學等許多領域,甚至還寫有三卷著作,專門論述光學儀器,如望遠鏡顯微鏡。雖然聽來令人難以相信,但據估計,如果有人清點18世紀后70幾年中的所有數學著作,那么,其中大約有三分之一出自李昂納德·歐拉之手!

          如果你在圖書館里,站在收藏歐拉著作的書架前,一個書架一個書架地看去,其著述洋洋大觀,令人驚嘆。這成千上萬頁文字,涉及從變分法、圖論,到復變函數和微分方程等數學的所有分支,它們指引了數學各個領域的新方向。實際上,數學的每個分支都有歐拉創立的重要定理。因此,我們可以在幾何學中找到歐拉三角,在拓撲學中找到歐拉示性函數,在圖論中找到歐拉圓,還不要說使人目不暇接的歐拉常數、歐拉多項式、歐拉積分等等名目了。即使這些還只是故事的一半,因為人們一向記于他人名下的許多數學定理,實際上卻是歐拉發現的,并深藏于他卷軼浩繁的著述中。有一則似假還真的趣話說道:

          “……法則和定理的命名,常有喧賓奪主的事情,否則,有半數應署上歐拉的名字!

          1783年9月7日,李昂納德·歐拉溘然長逝。盡管他已雙目失明,但直至他逝世前,他一直在進行數學研究。據說,在他生命的最后一天,他還在與他的孫子們一起游戲并討論有關天王星的最新理論。對于歐拉來說,死神來得非常突然,用孔多塞的話說,“他終止了計算和生命”。歐拉被埋葬在他曾居住過的圣彼得堡,他曾斷斷續續地在那里度過了許多美好的時光。

          

          要從歐拉龐大的數學體系中找出一兩個有代表性的定理是很困難的。我們之所以選定這一定理,是出于以下幾個原因。第一,從歷史上看,這一定理提出了一個十分重要且引起爭論的命題。第二,這個定理是歐拉的早期成就之一,是他于1734年到圣彼得堡的第一年宣布的,這一定理在很大程度上鞏固了他數學天才的名望。最后,這一定理不僅證明了歐拉解決前人的難題的才干,而且還證明他有能力將一個個別解法轉變為一連串同樣深刻和出人意料的解法。沒有一個定理能夠包容李昂納德·歐拉的全部天才,但我們即將討論的這一定理卻清楚顯示了他的數學才華。

          這個問題就是我們在第八章結束時所提到的問題;叵胍幌,伯努利 

        ……。雖然他們知道這一級數的和一定小于2,但他們卻不能確定這個和的精確數值。顯然,這一級數的計算不僅難倒了雅各布·伯努利和約翰·伯努利兄弟倆,而且也難倒了萊布尼茲,更不要說世界上的其他數學家了。

          歐拉顯然從他的老師約翰那里聽說過這道難題。他曾談到開始研究這個級數的時候,只是簡單地把級數的項越來越多地加起來,希望能夠找到級數的和。他這樣一直計算到20位(在計算機時代之前,這種計算絕非易事),發現級數的和趨向于數字1.6449。但遺憾的是,這個數字看起來似乎很陌生。歐拉沒有被嚇倒,他繼續研究,最后終于發現了解開這個謎的鑰匙。他興奮地寫道,“……完全意想不到,我發現了基于π的……一個絕妙的公式!

          歐拉導出這個公式需要兩個工具。其一是初等三角學中的所謂“正弦函數”。對這一重要數學概念(通常寫作“sin x”)的充分討論會使我們離題太遠。無論如何,任何接觸過三角學或微積分預備知識的人都肯定知道具有無限振蕩性質的著名的正弦波。函數f(x)=sinx的圖形見圖9.1,這一函數是歐拉思想的核心。

         

          我們看到,正弦曲線與x軸相交處的點x,其函數值等于零,

          因而,當x=0,±π,±2π,±3π,±4π,等等時,sinx=0。這種使sinx等于零的無窮多的x值反映了正弦函數周期性重復變化的特性。

          關于正弦的許多知識,我們都可以從初等三角中學到。但是,如果我們在其中引入微積分的概念,我們就會得出下列公式:

         

          同樣,我們沒有必要細述這一公式的推導過程,但是,凡是學過微積分泰勒級數展開式的讀者都會立刻認出這個公式。這一公式的重要性在于它為歐拉提供了一種將sin x表達為“無限長多項式”的方式。

          對sinx的級數展開式,我們需要作一點兒說明。第一,分母中使用了階乘符號,這種符號在一些數學分支中是很常見的。根據定義,3!表示3×2×1=6;5!=5×4×3×2×1=120,等等。并且,這一sin x表達式還將永遠達不到終點,隨著x的指數按奇整數序列增大,分母表現為相應的階乘,而正負號則一正一負交替出現。這就是我們所說將sin x寫成一個無限長多項式的意思。這也是歐拉解開他的難題所需要的線索之一。

          另一條線索不是出自三角學或微積分,而是出自單代數。由于正弦函數的泰勒級數展開式是一個無窮多項式,歐拉即轉而研究普通的有限多項式,并將它推廣到無窮多項式。

          設P(x)為n次多項式,其n個根為x=a,x=b,x=c,……,及x=d;換言之,P(a)=P(b)=P(c)=……=P(d)=0。我們再設P(0)=1。然后,歐拉知道可以將P(x)分解為如下n個一次項乘積的形式:

         

          不妨考慮一下這一一般公式的合理性。我們可以用直接代入的方法得到

         

          因為第一個因子恰好是1-1=0。同樣,

         

          這次是因為第二個因子為1-1=0。正如我們所期望的那樣,P(x)的方程式非常清楚地表明,P(a)=P(b)=P(c)=……=P(d)=0。

          但是,對P(x)還有另外一個條件:我們要求P(0)=1。幸好,從這里也可以得出我們的公式,因為 

        具有我們所尋求的性質。

          例如,假設P(x)是一個三次多項式,在這里,P(2)=P(3)=P(6)=0,并且,P(0)=1。然后,我們進行因式分解,得到

         

          我們可以很容易地驗證這一三次方程符合我們所要求的條件。

          歐拉仔細研究了這一方程后認為,同樣的法則肯定也適用于“無窮多項式”。他像牛頓一樣,也特別相信模式的推廣,既然這一模式對有限多項式是正確的,為什么就不能適用于無窮多項式呢?現代數學家都知道,這種做法是十分危險的,而且,將適用于有限多項式的公式推廣為適用于無窮多項式的公式,肯定會遇到巨大的困難。這種推廣當然要比歐拉想象得更微妙,也需要更多的謹慎。也許是因為歐拉走運;也許是因為他那強有力的數學直覺。無論如何,他的努力沒有落空。

          

        遠。但歐拉用他超凡的洞察力作為紐帶將全部零散的部件組合在一起。

          

        證明 歐拉首先引入函數

         

          歐拉認為他有充分理由把f(x)看成是無窮多項式,并且f(0)=1(從直覺上說,這是顯而易見的)。因此,可以利用上述方法,對這一函數方程作因式分解,以確定方程f(x)=0的根。為此,規定x≠0,并得出

         

          

        過簡單的十字相乘方法)簡化為解sin x=0。我們在前面已看到,當正弦函數等于0時,x=0,x=±π,x=±2π,等等。當然,我們必須從f(x)=0的解中排除x=0,因為我們已規定f(0)=1。也就是說,f(x)=0的解只是x=±π,x=±2π,x=±3π,……

          基于這些考慮,歐拉將f(x)分解因式為:

         

          我們稱這一方程為核心方程。這是一個最非凡的方程,因為它使一個無窮等于一個無窮乘積。也就是,最初確定f(x)的無窮級數等于方程右邊的無窮乘積。對于歐拉一類數學家來說,這是非常有啟發性的。實際上,他現在即將完成他的證明,但許多讀者也許還完全茫然不解。

          歐拉所做的是設想“乘出”上述方程右邊的無窮乘積,然后合并x的同類項。這樣,第一項就將是所有1的乘積,當然,等于1。為得到x2項,我們就必須依次用剩余因子中的x2項去乘所有的1,而不是與其它因子相乘。這樣,歐拉的“無窮乘法”問題就得到了下列方程: 

          終于,迷霧開始散去。歐拉只要計算出無窮乘積,并得出兩個相等的無窮和,那么,同指數的x項也就當然相等。請注意,兩個級數的第一項都是1。因而,兩個級數中的x2項,其系數也一定相等。即,

         

          然后,在方程兩邊同乘以-1,左邊即得到3!=6,而右邊則提取公因 

          這樣,李昂納德·歐拉就發現了其他數學家幾十年未能發現的答案。

        拉最初所推算的數值。我們還注意到,這一無窮和也恰如雅各布·伯努利于1689年所正確推斷的那樣,的確小于2。

          然而,在歐拉之前,人們對于這一級數的和恰好等于π2的六分之一,完全一無所知。這是一個多么古怪的答案。由于數學本身的種種神秘原因,這一級數的和竟然產生了一個關于π的公式。因為π當然是與圓密切相關的,而1、4、9、16這些數字則與正方形密不可分,所以,很難想象這二者會聯系在一起。甚至歐拉自己也對他的答案感到吃驚。他的公式過去是,至今依然是所有數學問題中最獨特和最令人吃驚的公式之一。這一以極巧妙的方法推導出來的公式,其意外性使歐拉的證明成為第一流的經典定理。 

        后記

          這一定理幫助奠定了李昂納德·歐拉在整個數學界的崇高聲望。這是一個無可爭議的成功,許多稍許平庸一些的人肯定會因這些巨大成就而心滿意足,不求進取,但歐拉卻不然。歐拉數學的特點就是努力探索一切值得探索的問題。至于歐拉這一絕妙的求和公式,不過只是牛刀小試而已。

          歐拉注意到,他在核心方程中所計算出的無窮乘積在x≠0的情況下,

         

          或簡化為

            

                 

        則是奇數的乘積。實際上,這一方程式早已為英國數學家約翰·沃利斯(1616—1703年)所知,他早在1650年就已用完全不同的方法推導出了這一公式。所以,歐拉并非發現了一個新公式,他只是在對無窮和與無窮乘積的新奇而相當有力的使用過程中再次發現了它。

        例如,假設我們要求偶數平方的倒數和:

         

          于是,歐拉也可以毫不費力地計算出所有奇數平方的倒數和,因為

         

          歐拉顯然對他的發現感到振奮,他再接再厲,提出了求整數四次方的倒數和問題:

         

          他能解出這道題嗎?

          歐拉感到他應該回到核心方程上來,但這一次是要確定方程兩邊x4項的系數。但是,怎樣才能從核心方程右邊的無窮乘積中找到x4項呢?這并非一個平凡的小問題。在求解這一問題的過程中,歐拉再次得益于他對模式認辨敏銳的感覺和他關于任何有限乘積都可以推廣到無限乘積的信念。

          為了理解歐拉的推理過程,我們先舉兩個十分簡單但卻富有啟發性的例子,說明他推導x4項系數的方法。第一個例子是

          (1-ax2)(1-bx2)=1-(a+b)x2+abx4

         

          第二個例子是

          (1-ax2)(1-bx2)(1-cx2)

          =1-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x4-(abc)x6

          

          這些方程可以簡單地通過乘出右邊方括號中的各項來直接驗算。

          請注意,模式已經出現——即,將(1-ax2)、(1-bx2)、(1-cx2)等一系列因式相乘后,x4的系數就等于(a+b+c+……)之和的平方與平方和(a2+b2+c2+……)二者的差的一半。如果這一模式對于兩個或三個這種因式的乘積是正確的話,那么,為什么不能推廣到四個、五個,甚至無窮多個因式的乘積呢?歐拉回到核心方程,熱心地推導出:

         

          

        等。因而,應用我們對x4系數的這一認識,就得到: 

          現在,歐拉開始同時考慮這一方程兩邊的x4的系數。方程左邊的x4 

          代數方法進行整理,先提取π的同指數公因數,然后再應用上述偉大定理。所以,方程右邊的x4項的系數是 

          現在,答案就在眼前。歐拉將以上兩個x4的系數列為等式,并解出所得方程如下:

         

          所以

         

          最后,通過十字相乘,就得出了歐拉的公式:

         

          歐拉發現了一個真正奇特的結果,他將完全四次方的倒數與π的四次方聯系在了一起。然后,他像一個孩子發現了新玩具一樣,興高采烈地應用他非凡的方法,去求更奇特級數的和,如:

         

          他不斷對偶次冪級數進行推算,并得出了

         

          最后,甚至連歐拉自己也對此感到厭倦了。無須贅言,歷史上沒有一個人曾踏上這一數學之旅。從實踐的觀點來看,無論事情有多么瑣碎,但它們確實是人類知識的一大進步,是對有關整數乘方倒數與最重要常數π之間關系的發現,而這些關系,以前人們從未想到過。

          至此,人們會立即想到一個問題:整數次冪的倒數和又將如何呢?例如,我們能否計算出無窮級數

         

          對此,甚至歐拉也緘默不語,的確,過去200年的數學研究對這些奇次冪級數的認識進展甚少。但是,我們可以很容易地推測,整數奇次冪的

         

          能夠肯定這一推測是否正確。

          今天,我們認識到,歐拉關于無窮級數的推理并不十分嚴格。他相信有限級數所產生的模式和公式可以自動推廣到無窮級數,這與其說是科學,不如說是一種信念。其后的數學家提供了大量的例證,證明了歐拉的這種推廣是十分愚蠢的?傊,歐拉未能為他的推理提供充分的邏輯依據。然而,這些批評絲毫無損于他的聲望。即使他推論無窮級數的方法還十分幼稚,但他所有這些奇妙的級數和都已通過了今天高標準的嚴密邏輯證明。

          這些成就在歐拉的70余卷著作中只占了幾頁。下一章,我們將討論歐拉在一個完全不同的數學分支——數論領域中的輝煌貢獻。

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