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        第六章

        作者:威廉·鄧納姆 字數:18008 閱讀:390 更新時間:2011/08/04

        第六章

        第六章

        卡爾達諾與三次方程解

        (1545年)

        霍拉肖代數的故事

          毫無疑問,15世紀的最后幾十年標志著歐洲的文化騷動。西方文明顯然已從中世紀的沉睡中覺醒。1450年,約翰內斯·谷登堡發明了活字印刷術,從此,書籍大量流通。博洛尼亞、巴黎、牛津和其他地方的大學成為高等教育和學術活動的中心。在意大利,拉斐爾和米開朗基羅開創了非凡的藝術事業,而他們的前輩列奧納多·達·芬奇則成為文藝復興時期藝術家的杰出代表。

          不僅僅是知識王國的疆域在擴展。1492年,熱那亞人克里斯托弗·哥倫布發現了大西洋彼岸的新世界。像其他事情一樣,對美洲大陸的發現證明了當代文明的認知能力是能夠超越輝煌的古代文明的。15世紀結束時,歐洲無疑正處于出現偉大事變的前夕。

          數學也是如此。1494年,意大利數學家盧卡·帕西奧利(約1445—1509年)撰寫了一部題為《算術大全》的書。在這部著作中,帕西奧利討論了當代的標準數學,并重點討論了一次方程和二次方程的解法。有趣的是,他在方程中用字母co代表未知量,無意中創造了原始的符號代數。co是意大利語cosa(意為“事物”)一詞的縮寫——即求解的事物。雖然100多年以后,代數才有了我們今天這樣的符號系統,但《算術大全》卻朝著符號代數方向邁出了一步。

          然而,帕西奧利對三次方程(即一種形式為ax3+bx2+cx+d=0的方程)的認識卻是極其悲觀的。他不知道應怎樣解一般三次方程,并認為在現時的數學中,求解三次方程,猶如化圓為方一樣,是根本不可能的。這種觀點,實際上是對意大利數學界的一個挑戰,并引出了關于下一個偉大定理的故事,即16世紀意大利代數學家和他們求解三次方程的故事。

          故事是從博洛尼亞大學的希皮奧內·德爾·費羅(1465—1526年)開始的。天才的費羅接受了帕西奧利的挑戰,他發現了一個解所謂“缺項三次方程”的公式。所謂缺項三次方程,就是一個沒有二次項的三次方程,其表現形式為ax3+cx+d=0。通常,我們習慣于用a去除方程的各項,并將常數項移到方程右邊,這樣,我們就可以將這一缺項三次方程轉變為其標準形式

          x3+mx=n

          出于明顯的理由,文藝復興時期的意大利人稱這一方程為“立方加未知量等于數字”。雖然費羅只掌握了這種特殊形式的三次方程,但他對代數的推進卻意義深遠。人們或許會以為他將廣為傳播自己的成功,但實際上,他卻完全不動聲色。他對三次方程的解法絕對保密!

          這種做法在“不發表即發霉”的今天,簡直不可思議。為了能夠理解費羅這種奇怪的做法,我們必須考慮到文藝復興時期大學的特性。那時,大學里的學術職位沒有安全感可言。除了保護人的庇護和政治方面的影響外,繼續任職還取決于能否在任何地點任何時間贏得公開質疑。因而,像費羅這樣的數學家就必須隨時準備與人進行學術論爭,而當眾出丑對于一個人的事業來說,可能是災難性的。

          因此,一個重要的新發現就是一件有力的武器。如果有一個對手提出一系列求解的問題,費羅就可以用一系列缺項三次方程來應付。即使費羅被他對手的某些問題難住了,他也可以相信,只有他一人掌握的三次方程注定了他那倒霉的對手必然失敗。

          希皮奧內對他的三次方程解法終生保密,直到彌留之際才將其傳給了他的學生安東尼奧·菲奧爾(約1506—?)。雖然菲奧爾的才華比不上他的老師,但他利器在握,不禁心高氣傲,于1535年向布雷西亞的著名學者尼科洛·豐塔納(1499—1557年)提出了挑戰。

          幼年時期一次不幸的災難伴隨了豐塔納一生。1512年,法國人進攻他的家鄉時,一名士兵,手持利劍,在年幼的尼科洛臉上兇殘地砍了一刀。據傳說,這孩子能夠活下來,完全是因為一條狗經常舔他臉上可怕的傷口。雖然狗的唾液挽救了他的性命,但卻無法挽救他說話的能力。尼科洛·豐塔納面目全非,以致再也不能清晰發言。于是,塔爾塔利亞(意為“結巴”)便成了他的綽號,而他今日正是以這一殘忍的綽號而著稱。

          我們暫且拋開他的殘疾不談,塔爾塔利亞確是一位天才的數學家。實際上,他自稱能夠解出x3+mx2=n形式的三次方程(即沒有一次項的三次方程),但菲奧爾懷疑他是否真找到了這種解法。塔爾塔利亞受到菲奧爾挑戰之后,便給菲奧爾寄去30道涉及各種數學問題的問題。而菲奧爾則回敬他30道“缺項三次方程”,使塔爾塔利亞陷于困境。顯然,菲奧爾是在孤注一擲,塔爾塔利亞究竟能得0分,還是30分,就取決于他是否發現了解三次方程的秘密。

          毫不奇怪,塔爾塔利亞開始夜以繼日地瘋狂研究缺項三次方程。日子一天天過去,他越來越沮喪。眼看最后期限就要到了,終于,1535年2月13日夜,塔爾塔利亞發現了三次方程的解法。他的努力終于得到了回報。他現在可以輕而易舉地解出菲奧爾的所有問題,而他的平庸的挑戰者則成績平平。塔爾塔利亞光榮地戰勝了對手。作為酬報,倒霉的菲奧爾應以豐盛的酒宴款待塔爾塔利亞30次;但塔爾塔利亞卻以一種寬宏的姿態,免卻了這一約定。與受到的羞辱相比,省下的錢財對于菲奧爾來說實在微不足道;于是,菲奧爾從此銷聲匿跡。

          接著出現的也許是整個數學史中最奇特的人物——米蘭的杰羅拉莫·卡爾達諾(1501—1576年)?栠_諾聽說了有關這一挑戰的故事后,就想更多地知曉塔爾塔利亞這位三次方程大師奇妙的技巧?栠_諾大膽地要求塔爾塔利亞這位布雷西亞學者公開他的秘密,從此,故事發生了意想不到的重大轉折。

          在繼續敘述之前,我們先來看一看杰羅拉莫·卡爾達諾不平凡的一生。我們有幸在他寫于1575年的自傳《我的一生》中讀到他第一人稱的敘述。這本書充滿了卡爾達諾的回憶、怨恨和迷信,還有大量奇聞軼事。雖然在幾乎全部自傳中,這一本自傳是最不可信的,但我們從中卻可以窺見他動蕩不安的一生。

          卡爾達諾首先追述了他的先祖。在他的家譜中可能包括教皇切萊斯廷四世,還有他的一個遠親安焦洛。安焦洛在80歲高齡時

          “才得兒子——孩子像他們父親一樣衰弱……他的長子活了70歲,我聽說他的子女中有些成了偉人!

          接著,在《我的誕生》一章中,卡爾達諾寫道:“我聽說,雖然用了各種墮胎藥,但都無效”,他活下來了,嚴格地說,只是“從我母親的子宮里拖出來了”。這種方式使他近于夭折,用溫酒洗浴才活了下來?栠_諾似乎是一個私生子,這才能解釋他何以不受歡迎。伴隨而來的恥辱影響了他的一生。

          由于先天不足,卡爾達諾終生經受疾病的折磨就不足為怪了。在他的自傳中,他坦率描述了這些痛苦,常?虅澣胛,甚至到了令人厭惡的地步。他告訴我們,他患有嚴重的心率過速,胸腹部流出液體,還患有脫肛和痔瘡,以及一種“排尿過多”的疾病,每天排尿多達100盎斯(約一加侖)。他懼怕登高和前往“據說瘋狗出沒過的地方”。他多年患有陽萎,直到臨近結婚時才痊愈(無疑正是時候)?栠_諾常常連續八個夜晚失眠,這種時候,他只能“起床下地,繞著床轉圈,一遍又一遍地數數,數到一千!

          偶爾不受這些疾病折磨時,卡爾達諾就自己折磨自己。他這樣做是因為“我覺得快樂存在于強烈痛苦之后的放松”,而且,當身體上不受痛苦的時候,“精神上的痛苦就必然會來壓迫我,沒有什么能比這種痛苦更強烈的了”,所以,

          “我想出了一個辦法,用力咬我的嘴唇,擰我的手指,掐我左臂的肌肉,直到疼得流出眼淚為止!笨栠_諾說,這種自我折磨還算值得,因為一旦停止下來,就會感到非常愜意。

          然而,身體(和精神)上的疾患還不是他唯一的問題?栠_諾在帕多瓦大學以優異成績完成他醫學學業之后,卻不能獲準在他的家鄉米蘭行醫。究其原因,可能是因為他是人人皆知的私生子,也可能是因為他那討厭而古怪的個性,但不論什么原因,這在他一生的沉浮中標志著一個低潮。

          在米蘭遭到拒絕,卡爾達諾就轉移到帕多瓦附近的一個小鎮薩科,在鄉間行醫,那里不乏田園風光,但多少有些閉塞。在薩科的一天夜里,他夢見了一個身穿白衣的漂亮女人。他很信夢,因此,當有一天,他遇到了一個與他夢中所見完全一樣的女人,不免受到極大震動。起初,貧困的卡爾達諾因為不能向她求愛而深感絕望:

          “如果我,一個窮人,娶一個女人,沒有嫁妝,只有一大群弟妹需要供養,那我就完蛋了!我甚至連自己也養活不起!如果我試圖誘拐她,或勾引她,周圍又會有多少雙眼睛在監視我!”

          但終于,他的愛贏得了婚姻。1531年,他娶了夢中的女人盧西亞·班達里妮為妻。

          這段小插曲表明了夢、先兆和預兆在卡爾達諾的一生中所起的突出作用。他是一位熱心的占星術士,一位護身符佩戴者,一位從雷雨中預卜未來的預言家。并且,他還常常感到守護神的存在,他在自傳中寫道:

          “據說守護神……常常對某些人特別垂青——蘇格拉底、柏羅丁、辛納修斯、戴奧、弗萊維厄斯·約瑟夫斯,我覺得自己也包括在內。所有這些人,除了蘇格拉底和我之外,都生活得非常幸!

          顯然,他很樂意與他的守護神熱烈交談?栠_諾20世紀的傳記作家奧伊斯坦·奧爾說:“由于這類故事,無怪他的一些同時代人認為他精神不正常!

          他的另一個終生愛好是賭博?栠_諾經常沉湎于賭博,他常常能贏許多錢,貼補收入。他在自傳中以懺悔的心情承認:

          “……我過度沉溺于輪盤賭和擲骰子,我知道,我應該受到最嚴厲的批評。我染上這兩種賭癮有許多年了;不僅年年賭,而且,我羞愧地承認,是天天賭!

          幸好,卡爾達諾將這一惡習提到科學研究的高度。他為此撰寫《論賭博》,死后于1663年出版,這是第一部論及數學概率的重要論文。

          這樣,杰羅拉莫·卡爾達諾從1526年至1532年,在薩科生活了許多年,他在那里算命、賭博,并成了家。但是,不論是他的收入,還是他的自尊,都使他不能長期忍受小鎮的環境。1532年,卡爾達諾攜其妻子盧西亞與兒子詹巴蒂斯塔一道返回米蘭,但他仍然被禁止行醫,最后不得不依靠貧民院的救濟過活。

          終于,好運降到了他的頭上?栠_諾開始講授大眾科學,這種講演特別受到有教養的人和貴族的歡迎。他撰寫了許多有趣的論文,論題從醫學、宗教到數學,內容極為廣泛。特別是1536年,他發表了一篇論文,攻擊意大利醫生中的腐敗和不稱職現象。這篇文章無疑得罪了醫學界,但卻受到公眾的歡迎,醫學界再不能將卡爾達諾拒之門外。1539年,米蘭醫師協會勉強接收他為會員,不久,他就贏得了行業的最高聲譽。到16世紀中葉,卡爾達諾已成為也許是歐洲最著名和最受歡迎的醫生。他曾為教皇治過病,也曾越洋去蘇格蘭(這在當時是一個漫長而艱難的旅程)為圣安德魯的大主教治病。

          但是,好景不長,不久就接連發生了悲劇。1546年,他的妻子去世了,年方31歲,留給卡爾達諾兩個兒子、一個女兒。在這些子女中,長子詹巴蒂斯塔是卡爾達諾的希望與歡樂。這個孩子非常聰明,他在帕維亞大學獲得了醫學學位,子承父業,前途不可限量。但是,災難像“瘋女人”(卡爾達諾語)一般襲來。他寫道,1557年12月20日晚,“……我正當睡意朦朧之際,床突然抖動起來,繼而整個臥室都在震動!钡诙煸缟,卡爾達諾從詢問中得知,全城沒有任何其他人感覺到了夜里的震動?栠_諾認為這是一個兇兆。他剛一得出這個結論,仆人就帶來一個意想不到的消息:詹巴蒂斯塔娶了一個“平庸或沒有任何可取之處”的女人為妻。

          后來證明這果然是一樁不幸的婚姻。詹巴蒂斯塔的妻子生了三個孩子,她自稱,沒有一個是詹巴蒂斯塔的。她的不貞,乃至不知羞恥,令詹巴蒂斯塔失去了理智。為了報復,他在給妻子的糕點里下了砒霜。砒霜果然有效,而詹巴蒂斯塔自己也以謀殺罪被捕?栠_諾憑借他的聲望,作了不懈的努力,但一切都無濟于事;他的愛子罪名成立,并于1560年4月初被推上斷頭臺。

          “家門不幸,以此為甚!睒O度悲痛的卡爾達諾寫道。他心如死灰,失去了他的朋友、事業,甚至生活的興趣。與此同時,他的另一個兒子阿爾多也成了罪犯,實際上,卡爾達諾“不得不一次又一次地將他送進監獄”。令人心碎的事情似乎一件接著一件。1562年,他離開米蘭這座記載著他的成功與不幸的城市,接受了博洛尼亞大學的一個醫學教職。陪同他一起的是他的孫子,詹巴蒂斯塔的兒子法齊奧。在他垂暮之年,這位老人與孩子之間也許發展了一種強烈的友愛關系,使他享受到了他自己的子女未能給予他的天倫之樂。

          但是,年幼的孫子和新城市也未能給他動蕩的生活帶來寧靜。1570年,卡爾達諾以異端罪被捕入獄。當時,意大利教會對宗教改革運動的異端采取了強硬態度,卡爾達諾曾為耶穌占星,并寫了一本《尼祿頌》,記述這位可恨的反基督教的羅馬皇帝,教會當然大為不快。

          監禁和羞辱似乎使年邁的卡爾達諾名譽掃地。然而,一些有名望的朋友們為他講情,加上教會的寬恕,卡爾達諾不久即被釋放出獄,他來到羅馬,不知怎么竟得到了教皇頒發的養老金!所謂否極泰來,大約就是這樣的了?栠_諾恢復名譽后,與他心愛的孫子一道,度過了他的晚年。他在自傳中驕傲地寫道,雖然他年事已高,但仍有“十四顆好牙和一顆有點兒松動的牙;但我想,這顆牙會存在很長時間,因為它還好用!笨栠_諾在比較平靜的氣氛里度過了他的晚年,并于1576年9月20日安祥地死去,結束了他充實的一生。

          對于現代讀者來說,卡爾達諾是一個自相矛盾但卻依然十分迷人的人物。他的著述多得令人難以置信,累計達7000頁,廣泛涉及從科學到其他領域的各種主題。但他雖然一只腳站在現代理性世界,另一只腳卻站在中世紀迷信的非理性世界。就在他謝世一百年后,偉大的哲學家兼數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茲恰當地概括了他的一生:“卡爾達諾是一個有許多缺點的偉人;沒有這些缺點,他將舉世無雙!

          我們現在再回到三次方程的問題,卡爾達諾對解三次方程作出了重大貢獻。1535年,布雷西亞的塔爾塔利亞發現了某些類型三次方程的解法,從而戰勝了安東尼奧·菲奧爾?栠_諾極感興趣,他一次又一次地寫信給塔爾塔利亞,請求塔爾塔利亞告訴他三次方程的解法,當然,他一次又一次地遭到拒絕,因為塔爾塔利亞決心趁勢寫一部解三次方程的書?栠_諾起初非常生氣,但終于好言好語將塔爾塔利亞請到米蘭作客。1539年3月25日,塔爾塔利亞向卡爾達諾公開了他解缺項三次方程的秘密,但他是用密碼書寫的?栠_諾為此莊嚴宣誓:

          “謹對著神圣的福音書,以君子的信義向你發誓,如果你把你的發現告訴我,我不僅絕不發表,而且還以我一個真正基督教徒的忠誠保證并發誓也用密碼記錄,這樣,在我死后,就沒有人能夠讀懂這些密碼!

          現在,這場戲劇中的最后一個人物出現了。這就是年輕的盧多維科·費拉里(1522—1565年),他敲開卡爾達諾的門,要求找一份工作。那天,卡爾達諾聽到喜鵲不停地叫,知道是個吉兆,便急忙收下這個孩子為仆。小盧多維科很快顯現出是一個絕頂聰慧的神童。他們的關系很快便從主仆關系發展為師生關系,最后,在費拉里不到20歲的時候,他們的關系又轉變為伙伴關系?栠_諾將塔爾塔利亞的秘密告訴給了他聰明而年青的弟子,兩人共同努力,取得了驚人的進展。

          例如,卡爾達諾發現了如何求解一般三次方程x3+bx2+cx+d=0

          在這里,系數b、c、d可以是0,也可以不是0。但遺憾的是,卡爾達諾的工作是立足于將一般三次方程化為缺項三次方程,這樣就遇到了為塔爾塔利亞保守秘密的問題。與此同時,費拉里也成功地發現了解四次多項式方程的方法。這是代數上的一個重大發現,但它也是依據化四次方程為相關的三次方程的方法,同樣也受制于卡爾達諾的誓言而不能發表。他們兩人都作出了當時代數學中最大的發現,但卻都陷入了困境。

          后來,1543年,卡爾達諾與費拉里一起來到博洛尼亞,他們仔細查看了希皮奧內·德爾·費羅的論文。對于費羅來說,這一整個故事早在三十年前就已開始了。他們在論文中看到了費羅親手寫的缺項三次方程的解法。它對卡爾達諾的含義是十分清楚的:他不必再受限制而不能發表這一解法了,因為這是費羅,而不是塔爾塔利亞發現的,他當然可以接受費羅的啟示。急切的卡爾達諾才不管費羅與塔爾塔利亞的解法其實完全相同。

          1545年,卡爾達諾出版了他的數學名作《大衍術》。對于卡爾達諾來說,代數是一門“偉大的藝術”,而他的著作代表了代數學中一個驚人的突破!洞笱苄g》共包括40章,開始幾章只討論了一些簡單的代數問題,而在題為“論三次方加一次方等于常數”的第十一章中,最終展現了三次方程的解式。值得注意的是,卡爾達諾為這關鍵的一章寫了如下的序言:

          “博洛尼亞的希皮奧內·費羅在近三十年前便已發現了這一規則,并將其傳給了威尼斯的安東尼奧·馬里亞·菲奧爾;而菲奧爾與布雷西亞的尼科洛·塔爾塔利亞的競賽使尼科洛有機會發現了這一解法。后來,塔爾塔利亞應我的懇求,向我公開了他的發現,但保留了對這一解式的證明。在這一幫助下,我發現了(各種)形式的證明。這是極為艱難的!

          卡爾達諾在此贊譽了許多人,這種贊譽是公正的。除了塔爾塔利亞以外,人人都感到滿意。而塔爾塔利亞則相反,他對卡爾達諾的欺騙和背叛行為大為惱怒。在塔爾塔利亞看來,卡爾達諾違背了他神圣的誓言,他曾以一個“真正基督教徒”的忠誠發誓,但他卻是一個不折不扣的惡棍。塔爾塔利亞提筆問罪,但回答他的卻不是卡爾達諾(他想凌駕于這場爭斗之上),而是頑強忠誠的費拉里。費拉里以其脾氣暴躁著稱(他曾在一次惡性爭斗中失去了幾個手指),他激烈地駁回了塔爾塔利亞的指責。一時間,在布雷西亞與米蘭之間,火藥味十足的信件飛來飛去。例如,在1547年的一封信中,費拉里斥責塔爾塔利亞是一個

          “……整天忙于……斤斤計較的人。如果要我報答你,我就給你肚里塞滿草根和胡蘿卜塊,讓你一輩子再也咽不下別的東西!

         。ㄗ詈笠痪湓捠请p關語,暗指在解三次方程問題中隨處可見的數學乘方根。)

          1548年8月10日,塔爾塔利亞與費拉里在米蘭的一次公開論戰使沖突白熱化。塔爾塔利亞后來指責卡爾達諾的缺席,說他“避免在論戰中露面”是一種怯懦的表現。但是,這場論戰是在費拉里的家門口進行的,最后以客座一方的失敗而告結束。塔爾塔利亞埋怨觀眾的喧鬧和偏見,而費拉里則當然把事情的結局歸功于他自己的智力。但不管怎么說,塔爾塔利亞敗下陣去,而費拉里則大獲全勝。數學史家霍華德·伊夫斯注意到觀眾的敵意和費拉里暴躁魯莽的名聲,他說,塔爾塔利亞能夠活著逃回去,還算是他的造化。

          這些就是圍繞著三次方程解所發生的故事,激烈、復雜,而又不免荒唐,F在我們所要做的,就是要討論作為這一奇特故事核心的偉大定理!

        偉大的定理:三次方程的解

          現代讀者在閱讀《大衍術》第十一章時,會有兩點感到意外。其一是卡爾達諾并沒有給出解一般三次方程的證明,只列舉了一種特殊形式的缺項三次方程,即

          x3+6x=20

          我們在以下的討論中,將采用更一般的形式

          x3+mx=n

          其二是卡爾達諾的論證是一種純幾何式的,涉及真正的立方體及其體積。實際上,我們只要想一想當時代數符號的原始狀態和文藝復興時期數學家對古希臘幾何的看重,疑團便會煙消云散。

          本書用卡爾達諾自己的語言闡述了《大衍術》第十一章的重要命題,并附上了他對三次方程的巧妙分析。他用文字敘述的解三次方程的“法則”初看非;靵y,但如果用一種更常見的代數方法重新演算一遍,就會發現卡爾達諾的規則是正確無誤的!

        定理 解x3+mx=n的法則: 

          用x系數三分之一的三次方加上方程常數一半的平方;求這整個算式的平方根。復制(重復)這一算式,并在第一個算式中加上方程常數的一半,從第二個算式中減去同一數的一半……然后,用第一個算式的立方根減去第二個算式的立方根,其差即為x的值。

        證明 卡爾達諾設想了一個大立方體,其邊AC的長度,我們用t來表示,如圖6.1所示。AC邊于B點截取線段BC,其長度為u,則線段AB的長度為t—u。這里的t和u都是輔助變量,我們必須確定它們的值。如圖所示,大立方體可以分為6部分,各部分的體積我們確定如下:

          ■ 前下角小立方體的體積為u3

          ■ 后上角較大立方體的體積為(t-u)3

          ■ 兩個垂直板塊,一個沿AB向前,另一個沿DE向右,每一個長方體的邊長分別為t-u、u和t(大立方體的邊長),因而,每一個長方體的體積分別為tu(t-u)

              ■ 前上角細長的長方體,其體積為u2(t-u)

          ■ 在后下角,即較大立方體的下面,有一個扁平的立方體,其體積為u(t-u)2

          顯然,大立方體的體積t3等于這6個小立方體的體積之和,即

          t3=u3+(t-u)3+2tu(t-u)+u2(t-u)+u(t-u)2

          對方程式中的各項做一些整理,即得到

          (t-u)3+[2tu(t-u)+u2(t-u)+u(t-u)2]=t3-u3

          從方括號中提取公因數(t-u),得

          (t-u)3+(t-u)[2tu+u2+u(t-u)]=t3-u3或簡化為

          (t-u)3+3tu(t-u)=t3-u3 (*)

         。ìF代讀者會注意到,這一方程式可以用簡單的代數方法直接推導出來,而無需借助于神秘的幾何立方體和板塊。但1545年的數學家們還不可能采用這種方法。)

         。*)方程式很容易使我們聯想起最初的三次方程式的形式x3+mx=n。也就是說,如果我們設t-u=x,則(*)方程就變為x3+3tux=t3-u3,然后,我們再設

          3tu=m和t3-u3=n

          現在,如果我們能用原三次方程式中的m和n來確定t和u的值,那么,x=t-u就能夠推導出我們所求證的定理。

          但是,《大衍術》沒有推導這些量的值。相反,卡爾達諾直接提出了求解前述“三次方加一次方等于常數”的法則。要明確譯解他純用文字表達的解題方法絕非易事,這就使人更加賞識現代代數公式這種簡明而直接的解題方法?栠_諾在這一段文字中究竟講的是什么意思呢?

          首先,我們來看他對t和u所規定的兩個條件,即

          3tu=m和t3-u3=n 

        將方程兩邊分別乘以t3,經整理后,就得到方程

         

          初看似乎并沒有什么改進,因為我們把原來x的三次方程變成了t的六次方程。然而,后者卻可以看作變量t3二次方程:

         

          而數學家早已掌握二次方程的解法,我們在前一章的后記中也講到過這一點,F在,我們可以解出這個二次方程:

         

          然后,只選取正平方根,我們就得到

         

          我們還知道u3=t3-n,據此,我們得出

         

          最后,我們就得到了用代數式表達的卡爾達諾解缺項三次方程x3+mx=n的法則,即

          x=t-u

           

          這一方程式就叫做缺項三次方程的“根式解”或“代數解”。也就是說,這一解式只涉及了原方程的系數(即m和n),而且,代數運算一般也只限于加、減、乘、除和開方。再深入一些的研究表明,這一公式與卡爾達諾用文字闡述的“法則”結果完全相同。

          卡爾達諾論證中的最精彩之處在于他用相關的(t3的)二次方程解替代了三次方程解,并從而發現了將方程降低“一次”的方法,這樣,他就從生疏的三次方程進入了熟悉的二次方程。這一非常巧妙的方法開辟了解四次、五次和更高次方程的道路。

          例如,卡爾達諾用這種方法解出了他的原型方程x3+6x=20。按照

         

          然后,他求出常數項一半(即20的一半)的平方,得100,再加上8,其和為108,求出這個數的平方根。他再用這個平方根加上和減去常數項的

         

         

          當然,我們可以簡單地用m=6和n=20代入有關代數式,就得到 

          顯然,這是一個“根式解”。令人感到意外的是,正如卡爾達諾所正確指出的那樣,這一貌似復雜的方程式實際上只不過是數字“2”的偽裝而已,用計算器不難驗證這一點。人們已經看出,x=2確是x3+6x=20的解。 

        有關解方程的其他問題

          我們注意到,在知道了三次方程的一種解法后,就可以據此去發現一些其他類型的解法。例如,因為x=2是上述方程的解,而且,我們知道x-2是x3+6x-20的一個因式,經過長除后,就可以得到另一個二次方的因式。因而,x3+6x-20=(x-2)(x2+2x+10)。這樣,解原三次方程的問題就變成了解一次方程和二次方程

          x—2=0和x2+2x+10=0

          這樣簡單的問題。(因為此二次方程無實數解,所以,原三次方程只有一個實數解x=2。)

          對于現代讀者來說,《大衍術》接下來的兩章似乎是多余的?栠_諾第十二章的標題是“論三次方等于一次方加常數”(即x3=mx+n),第十三章的標題是“論三次方加常數等于一次方”(即x3+n=mx)。今天,我們認為,這兩種形式的三次方程完全可以包括在上述方程式中,因為我們可以使m和n為負數。但是,16世紀的數學家卻要求方程的所有系數都必須是正數。換句話說,他們認為,x3+6x=20與x3+20=6x不僅形式不同,而且是本質上完全不同的兩種方程。由于卡爾達諾是以三維立方體的概念來看待三次方程的,所以,在他看來,立方體的邊長為負數是沒有意義的,因而,他們對負數項持否定態度就不足為怪了。當然,避免采用負數項就會使方程的種類增多,按照我們今天的看法,不必要地拉長了《大衍術》的篇幅。

          這樣,卡爾達諾能夠解三種形式的缺項三次方程中的任何一種。但是,對于ax3+bx2+cx+d=0這種一般形式的三次方程又當如何呢?卡爾達諾的偉大發現在于,通過適當的置換,可以將這一方程轉換為相關的缺項三次方程,當然,必須要符合他的公式。在討論三次方程的這一“缺項”過程之前,我們不妨瀏覽一下一種更熟悉的解題方法——即應用于解二次方程的方法:

          我們首先設二次方程的一般形式為

          ax2+bx+c=0這里a≠0

          為了使之缺項——即消去一次項,我們引入一個新的變量y,用x=y-

          

          

          然后,消去by項,就得到缺項二次方程

         

          因此

         

          最后

         

          這樣就再現了解二次方程公式。

          這個例子說明,多項式的降次方法是非常有用的。了解了這種方法以后,我們再回到卡爾達諾解一般三次方程的問題上來。在這里,關鍵的替

         

         

          展開后,成為

         

          對這一堆字母,我們需要做的一件重要事情就是消去y2項。這樣,新的三次方程(正如我們所希望的那樣,)就沒有了二次項。如果我們用a去除各項,就得到y3+py=q這種形式的方程。我們可以用卡爾達諾的公式

         

          為了更清楚地說明這一過程,我們來看三次方程

          2x3-30x2+162x-350=0

         

          2(y+5)3-30(y+5)2+162(y+5)-350=0

          整理后,成為

          2y3+12y-40=0或簡化為y3+6y=20

          顯然,這就是我們前面所解過的缺項三次方程,因而我們知道y=2。所以,x=y+5=7,并可以此驗證原方程。

          但是,《大衍術》在論證解一般三次方程問題時,卻遠非我們這樣簡潔。由于卡爾達諾要求所有系數都只能是正數,他就必須跨越一連串艱難的障礙,諸如,“三次方加二次方加一次方等于常數”、“三次方等于二次方加一次方加常數”、“三次方加常數等于二次方加一次方”,等等。終于,他在解出缺項三次方程后,又用了13章的篇幅才完成了這一論證,從而解決了解三次方程的問題。

          但果真解決了嗎?雖然卡爾達諾的公式似乎是一個驚人的成就,但它卻帶來了一個重大的謎。例如,我們來看缺項三次方程x3-15x=4。

          用m=-15和n=4代入上述公式,我們就得到

         

          如果說16世紀的數學家對負數持懷疑態度,則負數的平方根顯然就是絕對荒謬的,當然可以將其作為不可解的三次方程而予以排除。然而,對于上述三次方程來說,卻可以很容易驗證出它有三個不同的和完美的實數

          ——所謂“三次方的不可約情形”呢?他也曾對我們今天稱之為“虛數”或“復數”的情況進行過幾次不太認真的研究,但最終還是全部放棄,因為它們“既捉摸不透,又沒有用處”。

          大約又經過了一代人的時間,拉斐羅·邦貝利(約1526-1573年)出現了,他在1572年的論文《代數》中邁出了勇敢的一步,他將虛數看作是運載數學家從實數三次方程到達其實數解的必要工具;也就是說,我們從熟悉的實數領域出發并最終回到實數,但中途卻不得不進入一個我們所不熟悉的虛數世界以完成我們的旅程。對于當時的數學家來說,這似乎是不可思議的。

         

         

          答案正確!

          大家公認,邦貝利方法所提出的問題遠遠超出了他所解的問題。例如,

        ,萊昂哈爾德·歐拉才找到了一個發現復數根的可靠方法。此外,究竟什么是虛數,虛數的性質是否與實數相同呢?

          誠然,復數的重要性直到200多年以后的歐拉、高斯和柯西時代才充分地顯現出來,我們將在第十章的后記中詳細介紹這個問題。盡管如此,邦貝利承認了復數在代數中的作用,應當得到贊譽,他因此成為16世紀最后一位偉大的意大利代數學家。

          這里應強調一點。與人們普遍認為的相反,虛數不是作為解二次方程

         

        的關鍵作用,就不能如此漠然置之了。因此,是三次方程,而不是二次方程,給了復數以原動力和它們今天無可爭辯的合法地位。

          我們還應對《大衍術》作最后一點評論。在其第三十九章中,卡爾達諾用文字說明了解四次方程的方法:

          “還有另外一個法則,并且,比前一個法則更為壯觀。這就是盧多維科·費拉里提出的法則,他應我的要求,將其發現交給了我。根據費拉里法則,我們可以求出所有四次方程的解!

          這是一個非常復雜的程序,其中兩個關鍵性的步驟很值得一提:

          1.設一般四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0,代入x=y-

         

          y4+my2+ny=p

          2.通過巧妙地引入輔助變量,就可以用相關的三次方程替代原四次方程,然后,可以用上述方法解出這個三次方程。在這里,費拉里再次采用了經驗的做法,即用降冪的方法解出一定次數的方程。

          那些有能力閱讀這一定理及《大衍術》中所有其他發現的讀者,掩卷之后勢必感慨萬端。解方程的藝術達到了新的高度,而盧卡·帕西奧利當初認為代數不能解三次方程(更不要說四次方程了)的觀點已被徹底粉碎。無怪乎卡爾達諾在《大衍術》結尾時熱烈而動情地寫道:“用五年時間寫就的這本書,也許可以持續幾千年!薄

        后記

          卡爾達諾-費拉里著作中一個懸而未答的問題是五次方程的代數解。他們的努力顯然表明,五次方程的根數解是可能的,并且,他們對如何開始解五次方程給了一個明顯的提示。即,對于五次方程

          ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0 

          y5+my3+ny2+py+q=0

          然后,尋找某些輔助變量,使之降為四次方程,而我們已經知道求四次方程根數解的方法。這一論證之所以特別引人注目,不僅因為它酷似成功地解三次方程和四次方程的方法,而且還因為,眾所周知,任何五次(或任何奇次)多項式方程都必定至少有一個實數解。這是因為奇次方程的曲線看起來很像圖6.2中所示五次方程的曲線。也就是說,這些曲線隨我們沿x軸方向移動而不斷升高,但當我們向相反方向移動時,則曲線不斷下降。因此,這種函數必定在某些點上為正值,而且,必定在另外一些點上為負值。所以,利用一種稱為介值定理的方法,我們可以說,這條連續曲線一定會在某一點上與x軸相交。在上述五次方程曲線圖上,c就是這樣一點,因此,x=c就是方程x5-4x3-x2+4x-2=0的解。同樣的道理,任何奇次多項式方程都(至少)有一個實數解。

          然而,雖然介值定理表明了五次方程實數解的存在,但卻不能明確地確定它們的值。因而,費拉里之后的代數學家們所努力尋求的就是這樣一個解五次方程的標準公式。

          但是,在這方面的所有努力都失敗了。一個世紀過去了,又一個世紀過去了,仍然沒有一個人能夠求出五次方程的“根式解”。盡管后來的數學家們發現,可以將一般五次方程變換成這樣一種形式

          z5+pz=q

          如果我們稱以前的方程為“缺項方程”的話,則這一個方程就應稱作“完全缺項”方程。甚至就是這樣一個高度簡化了的五次方程,也同樣無人能夠攻克。這即使算不得難堪,至少令人沮喪。

          1824年,年青的挪威數學家尼爾斯·阿貝耳(1802—1829年)發現,不可能用代數方法求出五次或更高次方程的“根式解”,他的發現使數學界為之震驚?傊,尋找五次方程根式解從一開始就注定了必然失敗。我們可以在D.E.史密斯的《數學史料集》中找到阿貝耳的證明,這一證明非常復雜,很難讀懂,但它確實是數學史上的一座里程碑。

          值得注意的是,阿貝耳的證明是模棱兩可的。他并沒有說,所有五次方程都是不可解的,因為我們顯然可以解出像x5-32=0這樣的方程,其解無疑是x=2。并且,阿貝耳并沒有否認我們可以有不同于加、減、乘、除和開方這些代數方法的方法解出五次方程。的確,一般五次方程能夠用一種稱為“橢圓函數”的方法解出,但這種方法比初等代數要復雜得多。而且,阿貝耳的證明也沒有排除我們按照我們(或計算機)所要求的精度求出五次方程近似解的可能性。

          阿貝耳的論文只是證明了不存在一種代數公式,可以只用原五次方程的系數作為方程解的可靠生成元。同樣,解二次方程類似的二次公式和卡爾達諾解三次方程的公式也都不存在——不可能找到一種普遍有效的方法來確定五次方程的根式解。

          這種情況不由使人聯想起化圓為方的問題,在這兩個問題上,數學家都受到了他們所用工具的局限。對于我們在第一章中所講到過的化圓為方問題,圓規和直尺顯然無力完成這一重任。同樣,“根式解”這一限制也阻礙了數學家尋求五次方程解的努力。我們所熟悉的代數算法沒有能力馴服像五次方程這樣的猛獸。

          我們似乎已處于一種矛盾的邊緣,雖然數學家們知道五次方程一定有解,但阿貝耳卻又證明用代數方法不可能找到方程解。而正是“代數”這一修飾詞使我們免于逸出這一邊緣,跌入數學混亂之中。實際上,阿貝耳展示的正是代數這種非常明確的局限性,就在我們從四次方程轉向五次方程的時候,這種局限性憑空出現了。

          因此,實際上,我們繞了一個大圈,又回到了原處。盧卡·帕西奧利的悲觀看法,雖然因16世紀的發現而遭人冷淡,但卻不幸而言中。一旦我們越出四次方程的范圍,代數便喪失了它的顯赫。

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