<address id="9rtr7"><strike id="9rtr7"><span id="9rtr7"></span></strike></address>

    <pre id="9rtr7"><ruby id="9rtr7"></ruby></pre>
      <track id="9rtr7"><strike id="9rtr7"><strike id="9rtr7"></strike></strike></track>

        <track id="9rtr7"><strike id="9rtr7"><rp id="9rtr7"></rp></strike></track>
        <pre id="9rtr7"></pre>
        <track id="9rtr7"></track>

        第一章

        作者:威廉·鄧納姆 字數:18597 閱讀:3413 更新時間:2011/08/04

        第一章

        第一章
        希波克拉底的求新月形面積定理
        (公元前約440年)

        論證數學的誕生

          我們對人類遠古時代數學發展的認識,在很大程度上依靠推測,是根據零星的考古資料、建筑遺跡和學者的猜測拼湊而成的。顯然,隨著公元前15000至10000年間農業的發明,人類不得不應付兩個最基本的數學概念(至少是以初步形式):量和空間。量的概念,或“數”的概念是在人們數羊或分配糧食時產生的,經過歷代學者幾百年的推敲和發展,量的概念逐漸形成了算術,后來又發展成代數。同樣,最初的農夫也需要認識空間關系,特別是就田地和牧場的面積而言,隨著歷史的發展,這種對空間的認識就逐漸形成了幾何學。自從人類文明之初,數學的兩大分支——算術和幾何,就以一種原始的形式共存。

          然而,這種共存并非永遠和諧。數學史上一個持續的特征就是在算術與幾何之間始終存在著緊張關系。有時,一方超過了另一方,有時,另一方又比這一方在邏輯上更占優勢。而一個新發現,一種新觀點,都可能會扭轉局面。也許,有人會感到奇怪,數學竟然像美術、音樂或文學一樣,在其漫長而輝煌的歷史進程中,同樣存在著激烈的競爭。

          我們在古埃及文明中,發現了數學發展的明顯跡象。古埃及人研究的重點是數學的應用方面,以數學作為工具,促進貿易、農業和日益復雜的日常生活其他方面的發展。根據考古記載,在公元前2000年以前,埃及人已建立了原始數系,并具備了某些有關三角形和棱錐體等的幾何概念。例如,據傳說,古埃及建筑師用一種非常巧妙的方法確定直角。他們把12段同樣長的繩子相互連成環狀(如圖1.1所示),把從B到C之間的五段繩子拉成直線,然后在A點將繩子拉緊,于是就形成了直角BAC。他們將這種構形放在地上,讓工人們按照這個構形在金字塔、廟宇或其他建筑的拐角處建成標準的直角。

         

           這種構圖表明,古埃及人已對直角三角形的畢達哥拉斯勾股弦關系有所認識。他們似乎懂得,邊長為3、4和5的三角形肯定會含有直角。當然,32+42=9+16=25=52,我們從中可以看到在所有數學關系中最重要的關系之一——勾股關系的早期曙光(見圖1.2)。

         

          從技術角度說,古埃及人的這種認識還不是勾股定理本身。勾股定理申明,“如果△BAC是直角三角形,則a2=b2+c2”。而古埃及人的認識則是勾股定理的逆定理,“如果a2=b2+c2,則△BAC是直角三角形”。也就是說,關于命題“如果P,則Q”,對其相關命題“如果Q,則P”,我們稱之為逆命題。我們將會看到,一個完全正確的命題,其逆命題可能是錯誤的,但著名的勾股定理則不然,不論正命題,還是逆命題,都是正確的。實際上,這些就是我們將在下一章討論的“偉大定理”。

          雖然古埃及人對3-4-5直角三角形的幾何性質有所認識,但他們是否具有更廣義的理解,例如,對于同樣含有直角的5-12-13三角形或65-72-97三角形(因為在這兩個三角形中,都是 a2=b2+c2),則還是個疑問。更重要的是,沒有跡象表明,古埃及人是如何證明這些關系的。也許,他們掌握某些邏輯論證,以支持他們對3-4-5三角形的觀察;也許,他們僅僅是靠反復試驗。但無論如何,在埃及的文字記載中都沒有發現通過嚴密的邏輯推理,證明一般數學規律的跡象。

          下面的古埃及數學例子也許可以給人以啟發:這是他們發現截棱四棱錐體積的方法——即一個用平行于底面的平面截去頂部的四棱錐體(見圖1.3)。這種幾何體如今叫做正四棱臺。發現這種棱臺體積的方法在公元前1850年的所謂“莫斯科紙莎草書”中有所記載:

          “如果你被告知:一個截棱棱錐體,垂直高為6,下底邊長為4,上底邊長為2。則你取4的平方,得結果為16。你將4加倍,得結果 8。你取2的平方,得結果4。你將16、8和4相加,得28。你取6的三分之一,得結果2。你取28的2倍得56?,是56。你會發現答案是正確的!

         

          這段描述十分精彩,確實得出了棱臺體積的正確答案。但是,請注意,它的計算方法卻不是普遍適用的。這種方法沒有導出一個一般公式,以適用于其他尺寸的棱臺。古埃及人為計算不同尺寸棱臺的體積,或許不得不比照這個例子重新演算一番,而這個計算過程又讓人感到有點兒混亂不清。我們現代的計算公式就簡單明了得多:

         

          公式中,a為正方形下底邊長,b為正方形上底邊長,h是棱臺的高。更令人遺憾的是,沒有任何資料證明古埃及人的方法為什么會得出正確的答案,他們僅僅留下了簡單的一句話“你會發現答案是正確的”。

          從一個特殊例子引出包羅萬象的結論,很可能是危險的,而歷史學家注意到,在法老統治下的埃及這種獨裁社會,必然會產生這種武斷的數學方法。在古埃及社會,民眾無條件地服從他們的君主。由此推斷,當時,如果提出一種官方的數學方法,并斷言“你會發現答案是正確的”,則埃及臣民是不會要求對這種方法為什么正確作出更詳盡的解釋的。在法老統治的土地上,民眾只能惟命是聽,讓你怎么做就怎么做,不論是建筑巨大的廟宇,還是解答數學題,一概如此。那些敢于懷疑現體制者必然不得善終。

          另一處偉大的古代文明(或者更準確地說,另幾處文明)在美索不達米亞蓬勃發展,并產生了比古埃及先進得多的數學。例如,巴比倫人已能解出帶有明顯代數特征的復雜數學題,F存稱為“普林頓”的楔形文字泥版書322部(寫作年代大約在公元前1900至1600年之間)表明,巴比倫人已明確理解了畢達哥拉斯勾股定理,其理解深度遠遠超過了古埃及人。他們懂得5-12-13三角形或65-72-97三角形(或更多)都是直角三角形。除此以外,他們還為他們的數系創造了一種復雜的進位系統。當然,我們都習慣于十進位數系。顯然,十進位制是從人類有十個手指引申出來的。所以,似乎有點兒奇怪的是,巴比倫人選擇了60進位制。當然,沒有人會認為這些古巴比倫人長有60個手指,但他們選定的60進位制卻仍然用于我們今天的時間(一分鐘60秒)和角度測量(在一個圓中,6×60°=360°)。

          然而,美索不達米亞人的所有成就也同樣只是“知其然”,而回避了更為重要的“其所以然”的問題?磥,論證數學(一種重點放在證明判定關系上的理論演繹體系)的出現還在別一時間和別一地點。

          論證數學誕生的時間是公元前1000年,誕生地點是小亞細亞半島的愛琴海岸和希臘。那里出現了最偉大的歷史文明,其非凡的成就對西方文化進程產生了永久性的影響。隨著希臘國內和跨越地中海貿易的勃興,希臘人逐漸成為一個流徙不定,熱中冒險的民族,他們比較精明和富裕,在思想和行動上都比以往看到的西方世界更具獨立性。這些充滿好奇心,且思想自由的商人對權威是不會言聽計從的。實際上,隨著希臘民主的發展,公民自己就已成為權威(但必須強調指出,公民的定義在古希臘是非常狹隘的)。在這些人看來,對任何問題都可以自由爭論,都應該加以分析,對任何觀點都不能被動地、無條件地服從和接受。

          到公元前400年時,這一卓越文明已經能以其豐富的(或許可以說是無與倫比的)智力遺產而自豪。史詩詩人荷馬,歷史學家希羅多德和修昔底德,劇作家埃斯庫羅斯、索?死账购蜌W里庇得斯,政治家伯里克利和哲學家索克拉蒂斯——所有這些人都在公元前四世紀初葉留下了自己的足跡。在現代社會,名望會很快衰落。因而,現代人可能驚訝,這些古希臘人的名聲何以在經歷了2000多年之后依然保持其輝煌。直至今日,我們仍然欽佩他們以深邃的理性燭照自然與人類狀況的勇氣。其理性雖然不乏迷信與無知,但古希臘思想家確實取得了極大的成功。即使他們的結論并非永遠正確,但這些希臘人仍舊感到,他們的道路將引導自身從野蠻的過去走向夢想不到的未來。人們在描述這一特別的歷史階段時,常常使用“覺醒”一詞,這是十分貼切的。人類的確已從千百萬年的沉睡中醒來,以大自然最強大的武器——人類思維,勇敢地面對著這一陌生而神秘的世界。

          數學當然也是如此。公元前約600年,在小亞細亞西海岸的小鎮米利都,生活著一位偉人,即古代“七賢”之一——泰勒斯(公元前約640—546年)。米利都的泰勒斯是第一個在“知其然”的同時提出“其所以然”的學者,并被公認為論證數學之父。因此,泰勒斯是最早的著名數學家。

          關于他的生平,我們掌握的確切資料很少。他實際上是作為一個半神話式人物從歷史的薄霧中顯現的,歸于他名下的那些發現是否屬實,人們僅僅是猜測而已。傳記作家普盧塔克(公元46-120年)回顧了700年前的史跡,他寫道:“……當時,泰勒斯獨自將純粹基于實踐的哲學上升到理性的高度!碧├账棺鳛橹臄祵W家和天文學家,以某種方式預言了公元前585年發生的日蝕,他像所有古板的科學家一樣,常常心不在焉或長時間的出神——據傳說,有一次,他一邊散步,一邊仰望星空,竟然掉進了一口深井中。

          泰勒斯雖然被公認為論證數學之“父”,但實際上,他卻從未結過婚。當同代人梭倫向他追問原因時,他竟開了一個刻薄的玩笑。泰勒斯讓人帶給梭倫一個消息說你的兒子死了。據普盧塔克記載,梭倫當時:

          “……捶胸頓足,痛不欲生,像人們遭遇不幸時慣常所做的那樣。但泰勒斯拉著他的手,笑了笑說:‘梭倫,就是這些事情讓我不想結婚,也不想生兒育女,這實在太難了;不過,你不必太過傷心,因為這都是假的!

          顯然,泰勒斯不是那種心地善良之輩。從農夫的故事中,我們也可以得到同樣的印象。一個農夫常常要將沉重的鹽袋馱在驢背上,趕著驢去集市賣鹽。聰明的驢子很快就學會了在涉過一條小河時打滾,把許多鹽溶化在水里,大大減輕鹽袋的重量。農夫非常生氣,就去請教泰勒斯。泰勒斯建議農夫在下次趕集時,給驢馱一袋海綿。

          當然,泰勒斯對人或動物的不友善,并不妨礙他在數學領域贏得很高的聲望。正是泰勒斯曾極力主張,對幾何陳述,不能僅憑直覺上的貌似合理就予以接受,相反,必須要經過嚴密的邏輯證明。這是他留給數學界的一筆相當可觀的遺產。

          確切地說,泰勒斯的定理究竟是什么呢?傳統上認為,泰勒斯第一個證明了下列幾何性質:

          ■ 對頂角相等。
          ■ 三角形的內角和等于兩個直角之和。
          ■ 等腰三角形的兩個底角相等。
          ■ 半圓上的圓周角是直角。

          雖然我們沒有任何有關泰勒斯對上述命題證明的歷史記載,但我們可以推斷它們的本來面目,例如上述的最后一個命題。下列證明方法選自歐幾里得的《原本》第三篇第31命題,但它簡單明了,完全可以看作是泰勒斯自己最初的證明。

        定理 半圓上的圓周角是直角。

         

        證明 以O為圓心,以BC為直徑作半圓,選半圓上任意一點A作圓周角BAC(圖1.4)。我們必須證明∠BAC是直角。連接OA,形成△AOB。由于OB和OA都是半圓的半徑,長度相等,所以△AOB是等腰三角形。因此,根據泰勒斯先前所證明的定理,∠ABO與∠BAO相等(或用現代術語,迭合);我們稱這兩個角為α。同樣,在△AOC中,OA與 OC相等,因此,∠OAC=∠OCA;我們稱這兩個角為β。而在大三角形BAC中,我們看到,

          2個直角=∠ABC+∠ACB+∠BAC

          =α+β+(α+β)

          =2α+2β=2(α+β)

         

          這正是我們要證明的。證訖。

          泰勒斯之后,希臘又一位偉大數學家是畢達哥拉斯。畢達哥拉斯公元前約572年出生于薩摩斯,并在愛琴群島東部生活和工作,甚至,據說,他還曾師從泰勒斯。但當暴君波利克拉特斯僭取這個地區的政權之后,畢達哥拉斯逃到了現今意大利南部的希臘城鎮克洛托內。他在那里創辦了一個學術團體,今稱為畢達哥拉斯兄弟會。畢達哥拉斯哲學認為,“整數”是宇宙的要素,萬物的元質。不論是音樂、天文學,還是哲學,“數”的中心地位是隨處可見的。關于物理可以“數學化”地理解的現代觀點在很大程度上也源自于畢達哥拉斯學派的觀點。

          在嚴格意義的數學領域,畢達哥拉斯學派為我們提供了兩個偉大發現。一個當然是無與倫比的畢達哥拉斯定理。像所有遠古時代的其他定理一樣,我們沒有關于畢達哥拉斯原論證的歷史資料,但古人卻一致將這一定理的發現歸于畢達哥拉斯的名下。據說,畢達哥拉斯曾向上帝獻祭一頭牛,以慶祝他的論證帶給各方的喜悅(大概這頭牛除外)。

          但畢達哥拉斯學派的另一個重要貢獻卻沒有得到人們的熱情支持,因為它不僅公然蔑視直覺,而且還沖擊了整數的優勢地位。用現代說法,他們發現了無理量,但他們的論證方法卻有點兒幾何學的味道:

          兩條線段,AB和CD,如果有一條可均勻分割AB和CD的小線段EF,我們就說線段AB和CD是可公度的。也就是,對于整數p和q來說,AB是由p段相等于EF的線段組成;而CD是由q段同樣的線段組成(見圖1.5)。

         

          憑著直覺,畢達哥拉斯學派認為,任何兩個量都是可公度的。給定兩個線段,必有另一條線段EF,可以均勻地分割這兩個線段,即使取非常小的EF,也是如此。懷疑EF的存在,似乎是十分荒謬的。線段的可公度性對畢達哥拉斯學派至關重要,這不僅因為他們利用這一觀點證明相似三角形,而且還因為這一觀點似乎可以支持他們關于整數中心作用的哲學態度。

          但是,據說,畢達哥拉斯的弟子希帕薩斯發現正方形的邊長與其對角線(見圖1.6中的GH與GI)卻不可公度。因為不論劃分多小,都沒有一個EF量可以均勻地分割正方形的邊長和對角線。

          

          這一發現產生了許多深遠的結果。顯然,這個發現粉碎了畢達哥拉斯那些建立在所有線段都可公度的假設基礎之上的證明。幾乎200年之后,數學家歐多克索斯才設法在不基于可公度概念的基礎上,修補了相似三角形理論。其次,這一發現還動搖了整數至高無上的地位,因為如果并非一切量都可公度,那么,整數對于表示所有線段長度的比就顯得不充分了。因此,這一發現在其后的希臘數學中,建立了幾何對算術的絕對優勢。例如,如圖1.6所示,正方形的邊長和對角線無疑屬于幾何問題。如果作為數字問題來計算,則會出現嚴重的問題。因為,如果我們設上圖正方形的

        的數字處理,而全神貫注于通過簡明的幾何體來表達量。這種幾何對算術的優勢將支配希臘數學一千年。

          無理數的發現所帶來的最終結果是,畢達哥拉斯的信徒們對希帕薩斯引起的所有混亂大為惱怒,據說他們把希帕薩斯帶到地中海深處,然后掀下水中。如果故事屬實,則自由思想的危險性,由此可見,即使是在比較嚴肅的數學領域,也不例外。

          泰勒斯和畢達哥拉斯,雖然在傳奇和傳統中神乎其神,但他們都是遠古時代模糊而朦朧的人物。我們下面將介紹的希俄斯的希波克拉底(約公元前440年)則是一位比較確實的人物。事實上,我們把有據可查的最早的數學論證歸于他的名下。這將是我們所要介紹的第一個偉大定理的主題。

          希波克拉底公元前5世紀生于希俄斯島。當然,這是產生上述他的杰出前輩的同一個地方。(順便提請讀者注意,希俄斯島距科斯島不遠,當時那里出生了另一位“希波克拉底”;科斯的希波克拉底(不是我們所說的希波克拉底)乃希臘的醫學之父和醫生遵循的《希波克拉底誓言》的創始人。)

          關于數學家希波克拉底,我們對他的生平知之甚少。亞里士多德曾寫過,希波克拉底雖然是一位天才的幾何學家,但他“……看起來在其他方面卻顯得遲鈍又缺乏見識”。身為數學家,卻難以應付日常生活,他即是早期的這樣一類人。傳說,希波克拉底是在被強盜騙去錢財后出名的,顯然,他被人當作了容易受騙的傻瓜。為了挽回損失,他前往雅典,并在那里教學,他是少數幾位為掙錢而開始教學生涯的人之一。

          無論如何,我們都不會忘記希波克拉底對幾何學作出的兩個非凡的貢獻。其一是他編寫了第一部《原本》,第一次闡述了從幾個已知公理或公設中精確而有邏輯性地推導出幾何定理的過程。至少,人們相信是他寫了這部著作,但遺憾的是,這部書沒有能夠流傳至今。然而,這部書不論多么有價值,與100年后歐幾里得的煌煌巨作《原本》相比,也不免黯然失色。歐幾里得的《原本》從根本上宣判了希波克拉底著作的過時。即使如此,我們仍有理由認為,歐幾里得借鑒了他前輩的思想,因此希波克拉底失傳的大作無疑使我們受益良多。

          然而,令人欣慰的是,希波克拉底的另一個偉大貢獻——求新月形面積——卻流傳至今,雖然大家公認,其流傳是無意的和間接的。我們未能得到希波克拉底的原作,而只傳有歐德摩斯公元前約335年對希波克拉底著作的轉述;即使就轉述而言,事情也不乏含混之處,因為實際上,我們也沒有真正找到歐德摩斯的原著。相反,我們只看到了辛普利西烏斯于公元530年寫的概要,他在這本書中論述了歐德摩斯的著作,而歐德摩斯則概括了希波克拉底的著作。實際上,從希波克拉底到辛普利修斯,其間經歷了近一千年之久,差不多等于我們與萊弗·埃里克松之間的時間跨度,這說明歷史學家在考證古代數學時遇到了多么大的困難。盡管如此,我們沒有理由懷疑我們所探討的著作基本上是可靠的!

        有關求面積問題的一些評論 

          在探討希波克拉底的新月形面積之前,我們先要介紹一下“求面積”的概念。顯然,古希臘人被幾何的對稱性,視覺美和微妙的邏輯結構吸引住了。尤其令人感興趣的是以簡單和初步的東西作為復雜和紛繁問題基礎的方式。這一點在下章我們探討歐幾里得定理時,就會顯得十分明了。歐幾里得從一些基本的公理和公設開始,一步步地推導出一些非常復雜的幾何命題。

          這種以簡單構筑復雜的魅力還表現在希臘人的幾何作圖上。他們作圖的規則是,所有作圖都只能使用圓規和(沒有刻度的)直尺。幾何學家利用這兩種非常簡單的工具,便能夠作出完美、一致的一維圖形(直線)和完美、一致的二維圖形(圓)——這必定出自于希臘人對秩序、簡明性和美的感受。并且,這種作圖方法也是當時的技術水平所力所能及的,例如,當時還不可能畫出拋物線。也許,準確地說,是直線和圓的審美魅力加強了直尺和圓規作為幾何作圖工具的中心地位,同時,直尺和圓規的物質可用性又轉過來增進了直線和圓在希臘幾何中的作用。

          古代數學家利用直尺和圓規繪制了許多幾何圖形,但同時也受制于這兩種工具。正如我們所看到的,圓規和直尺這兩種似乎并不復雜的工具,掌握在聰敏的幾何學家手中,便可以繪制出豐富多采和各式各樣的幾何圖形,從平分線段和角,繪制平行線和垂直線,到創造優美的正多邊形,不一而足。但是,公元前5世紀,更加嚴重的挑戰卻是平面圖形的求面積或求方。確切地說:

           一個平面圖形的求面積(或化其為方)就是只用圓規和直尺作出面積等于原平面圖形的正方形。如果一個平面圖形的求面積能夠實現,我們就說這個圖形是可用等價平方表示的(或可為平方的)。

          求面積問題能夠引起希臘人的興趣并不奇怪。從純粹實踐的觀點看,確定一個不規則圖形的面積當然不是一件易事。但如果這個不規則圖形能夠用一個等面積的正方形替換,那么,確定原不規則圖形面積的問題就變成了確定正方形面積的簡單問題。

          毫無疑問,希臘人對求面積問題的強烈愛好已超出了實踐范圍。因為如果求方能夠實現,就用規則的對稱性正方形替換了不規則不對稱的平面圖形。對于那些尋求以理性和秩序支配自然世界的人來說,這在很大程度上是一個由不對稱到對稱,變缺陷為完美,以有理性取代無理性的過程。在這種意義上,求面積問題就不僅是人類理性的象征,而且也是宇宙本身所固有的和諧和美的象征。

          對于希臘數學家來說,探討求面積問題是一個特別具有吸引力的課題,為此,他們作出了許多巧妙的幾何圖形。解數學問題,答案常常是一步一步推導出來的,求面積也是如此。第一步先要求出一個大體“規則”的圖形的面積,然后再以此為基礎,繼續推導出更不規則,更稀奇古怪圖形的面積。在這一過程中,關鍵性的第一步是要求出長方形面積。長方形面積的解法在歐幾里得《原本》第二篇的命題14中就有所闡述,但我們確信,在歐幾里得之前,人們便已熟知這種解法。下面,我們先從長方形面積的解法講起!

        第1步 求長方形面積(圖1.7)

          作任意長方形BCDE。必須只用圓規和直尺作出與BCDE面積相等的正方形。用直尺將線段BE向右延長,再用圓規在延長線上截取長度等于ED


        過E點作線段EH垂直于BF,這里,H是垂線與半圓的交點,據此,作出正方形EKLH。

         

          影部分)與原長方形BCDE面積相等。

          但要證明這一結論,還需要花點兒力氣。為計算方便,我們設a、b、c分別等于線段HG、EG和EH。由于所作△GEH是直角三角形,根據勾股


                    
          =(a+b)(a-b),據以上推理
          =a2-b2
          =c2=面積(正方形 EKLH)

          這樣,我們就證明了原長方形面積等于我們用圓規和直尺所作正方形(圖中陰影部分)的面積,并以此完成了長方形的求方。

          求出長方形面積后,我們很快便可進入下一步,求更加不規則圖形的面積!

        第2步 求三角形面積(圖1.8)


        的面積,因而,該正方形的面積也等于△BCD的面積。至此,三角形的求方完成。

          下面,我們將討論一個非常一般的圖形!

        第3步 求多邊形面積(圖1.9) 

         

          我們首先討論一個非常一般的多邊形,如圖所示。我們通過作對角線,將這個多邊形劃分為三個三角形,即B、C和D。因此,整個多邊形的面積就等于B+C+D。

          在第2步中,我們已知道三角形是可用等價平方表示的,因此,我們可以分別以邊長b、c和d作正方形,并得到面積B、C和D(圖 1.10)。然后,以 b和c為直角邊,作直角三角形,其斜邊長為x,即x2=b2+c2。我們再以x和d為直角邊,作直角三角形,其斜邊為y,因而,y2=x2+d2。最后,我們便可以以y為邊長作正方形(見圖1.11陰影部分)。

         

         

          綜合我們的推論,就得到

          y2=x2+d2=(b2+c2)+d2=B+C+D

          因此,原多邊形的面積就等于以y為邊長的正方形的面積。

          顯然,這一推導過程適用于任何可作對角線將其劃分為四個、五個或任何數量三角形的多邊形。不論什么樣的多邊形(見圖1.12),我們都可以將其劃分為若干三角形,并依照第2步的方法,作每個三角形的等面積正方形,然后,根據勾股定理,利用每一個正方形,作出大正方形,其面積即等于原多邊形的面積?偠灾,多邊形是可用等價平方表示的。

         

          利用類似方法,如果一個圖形的面積為兩個可用等價平方表示的面積之差(而不是其和),我們可將其化為正方形。假設已知面積E等于面積F與G之差,并且,我們已作出邊長為f和g的正方形,如圖1.13所示。然后,我們可作直角三角形,使其斜邊等于f,直角邊等于g和e。最后,以邊長e作正方形。即

          面積(正方形)=e2=f2=g2=F-G=E

          因此,面積E也同樣可用等價平方表示。

          希波克拉底時代的希臘人利用上述方法可以將雜亂無章的不規則多邊形變為等面積正方形。但是,這一成就卻因一個明顯的事實而減色不少,即這些圖形都是直線圖形——它們的邊雖然數量眾多,并構成各種奇形怪狀的角度,但都只是直線。而更嚴重的挑戰是,曲邊圖形(即所謂曲線圖形)是否也可以用等價平方表示。起初,人們認為,這似乎是根本不可能的,因為顯然沒有辦法用圓規和直尺將曲線拉直。因此,當希俄斯的希波克拉底于公元前5世紀成功地將一種稱為“新月形”的曲線圖形化為正方形時,世人驚得目瞪口呆。

         

        偉大的定理:求新月形面積

          新月形是一種邊緣為兩個圓弧的平面圖形——即月牙形。希波克拉底并沒有作出所有新月形的等面積正方形,而只求出了一種他所精心構造的特定新月形的面積。(猶如“后記”中所述,這種區別似乎造成了后人對希臘幾何的誤解。)希波克拉底的論證是建立在三個初步公理之上的:

          ■ 勾股定理

          ■ 半圓上的圓周角是直角

          ■ 兩個圓形或半圓形面積之比等于其直徑的平方比。


         

          前兩個公理在希波克拉底之前很久便已為人所知。而最后一個命題卻十分復雜。兩個圓形或半圓形面積之比是基于以其直徑為邊長所作的兩個正方形面積之比的(見圖1.14)。例如,如果一個半圓的直徑是另一個半圓的5倍,則第一個半圓的面積是第二個半圓面積的25倍。然而,這一命題卻給數學史家提出了一個問題,因為人們普遍懷疑希波克拉底是否確曾對此作出過正確的證明。他盡可認為他能夠證明這一命題,但現代學者普遍認為,這一定理(后來被列入歐幾里得《原本》第七篇的第二命題)所提出的邏輯難題遠不是希波克拉底所能夠解決的。(這一定理的求導過程見第四章。)

          我們暫且拋開這個問題不談,先來看一看希波克拉底的證明。首先,
        AB,且與半圓相交于C,并連接AC與BC。平分AC于D,然后,以D為圓心,以AD為半徑作半圓AEC,這樣,就形成了新月形AECF,如圖中陰影部分所示。

          希波克拉底的證明方法既簡單又高明。首先,他必須證實所論證的新月形與圖中陰影部分的△AOC面積完全相等。這樣,他就可以應用已知的三角形能表示為等價平方的公理來斷定新月形也可用等價平方表示。這一經典論證的詳細過程如下: 

          定理:新月形AECF可用等價平方表示!

          證明;由于∠ACB內接于半圓,所以,∠ACB是直角。根據“邊角邊”
          
          勾股定理,就得到

         

          因為AB是半圓ACB的直徑,AC是半圓AEC的直徑,所以,我們可以應用上述第三條原理,即得到
          
          也就是說,半圓AEC的面積是半圓ACB面積的一半。

          我們現在來看扇形AFCO(“扇形”是圓的四分之一)。顯然,這一扇形也是半圓ACB面積的一半,據此,我們可直接得出

          面積(半圓AEC)=面積(扇形AFCO)

          最后,我們只需從這兩個圖形中各自減去它們共同的部分AFCD,如圖1.16所示,即

         

          面積(半圓AEC)—面積(AFCD部分)

          =面積(扇形AFCO)—面積(AFCD部分)

          我們從圖中可以很快看出,剩下的部分就是

          面積(新月形AECF)=面積(△ACO)

          我們已知,我們可以作一個正方形,使其面積等于三角形ACO,因而也等于新月形AECF的面積。這就是我們所尋求的化新月形為方的問題。 證訖。

          這的確是數學上的一大成就。評注家普羅克洛斯(公元410—485年)以他五世紀的眼光,認為希俄斯的希波克拉底“……作出了新月形的等面積正方形,并在幾何學中做出過許多其他發現,是一位作圖的天才,如果曾經有過這種天才的話!薄

        后記 

          由于希波克拉底求新月形面積的成功,希臘數學家對求最完美的曲線圖形——圓的面積充滿了樂觀。古希臘數學家為解決化圓為方問題付出了大量的時間和精力,一些后世作家認為希波克拉底自己曾嘗試解決這一難題,盡管接二連三的評論、注釋把事情弄得撲朔迷離,要確定這點很困難。五世紀的辛普利西烏斯在其著作中引述了他的前輩——阿弗羅狄西亞的亞歷山大(約公元210年)的話說,希波克拉底曾聲稱他能夠求出圓的面積。將這些蛛絲馬跡連綴起來,我們推測亞歷山大考慮的是這樣一種論證:

          首先作任意圓,其直徑為AB。以O為圓心作大圓,使其直徑CD等于AB的兩倍。利用已知方法,在大圓中作內接正六邊形,即使六邊形的每一條邊都等于半徑。也就是

         

          重要的是,我們應注意到,這六條邊,每一條邊都等于大圓的半徑,
        半圓,如圖1.17所示。這樣,就形成了六個新月形和一個以AB為直徑的圓(見圖中陰影部分)。

          然后,我們想象將右邊的圖形按兩種方式分解:其一,看作是一個正六邊形CEFDGH加上六個半圓;其二,看作一個大圓加六個新月形。顯然,這兩種方式所得出的總面積是相等的,因為都是從同一個圖形中分解出來 

          因此

          面積(正六邊形)+3面積(以AB為直徑的圓)

          =面積(大圓)+面積(6個新月形)

          由于大圓的直徑等于小圓的兩倍,因而,大圓的面積必定等于小圓面積的22=4倍。即

          面積(正六邊形)+3面積(以AB為直徑的圓)

          =4面積(以AB為直徑的圓)+面積(6個新月形)

          從等式兩邊分別減去“3面積(以AB為直徑的圓)”,我們就得到面積(正六邊形)=面積(以AB為直徑的圓)+面積(6個新月形)

          或

          面積(以AB為直徑的圓)=面積(正六邊形)—面積(6個新月形)

          據亞歷山大所說,希波克拉底作了如下推論:正六邊形作為多邊形,可以用等價平方表示;根據前邊論證,每一個新月形也同樣可以用等價平方表示。利用加法,我們可以作出一個面積等于六個新月形面積之和的正方形。因此,以AB為直徑的圓的面積可以按照我們前面所列等式,用簡單的減法即可得到。

          但是,正如亞歷山大隨即指出的那樣,這一論證有一個明顯的缺點:希波克拉底在這一定理中求其面積的新月形不是沿著內接正六邊形的邊長作的,而是沿著內接正方形的邊長作的。也就是說,希波克拉底從來沒有提出過求本例這種新月形面積的方法。

          大多數現代學者都懷疑像希波克拉底這樣水平的數學家會犯這種錯誤。相反,很可能是亞歷山大,或辛普利西烏斯,或任何其他轉述者在介紹希波克拉底最初的論證時,在某種意義上曲解了他的原意。我們也許永遠不會知道全部真相。然而,這種推理方法似乎也支持了一種看法,即化圓為方應該是可能的。如果說上述論證沒有完成此事,那么,只要再付出一點兒努力,再多一點兒洞察力,也許就可以成功了。

          但是,情況卻并非如此。一代又一代的人經過數百年的努力,始終未能化圓為方。歷經種種曲折,人們提出了無數的解法,但最后發現,每一種解法都有錯誤。逐漸地,數學家們開始懷疑,也許根本不可能用圓規和直尺作出圓的等面積正方形。當然,缺乏一種正確的證明方法,即使經過了2000年的努力,也依然不表明化圓為方是不可能的;也許,數學家只是不夠聰明,還沒有找到一條穿越幾何叢林的道路。此外,如果化圓為方不可能的話,就必須借助其他邏輯嚴密的定理來證明這一事實,而人們亦不清楚如何作出類似證明。

          應當指出一點,沒有人會懷疑,已知一個圓,必然存在著一個與之面積相等的正方形。例如,已知一個固定的圓和圓旁一個正方形投影小光點,并且,正方形投影的面積大大小于圓的面積。如果我們連續移動投影儀,使之距離投影屏面越來越遠,并以此逐漸擴大正方形投影的面積,這樣,我們最終會得到一個面積超過圓面積的正方形。根據“逐漸擴大”的直觀概念,我們可以得出正確結論,在過程中的某一瞬間,正方形面積恰好等于圓形面積。

          但是,這畢竟有點兒離題。不要忘記,關鍵的問題不是是否存在這樣一個正方形,而是是否可以用圓規和直尺作出這個正方形。這就出現了困難,因為幾何學家只限于使用這兩種特定工具;而移動投影光點顯然違反這一規則。

          從希波克拉底時代直到一百多年前,化圓為方問題始終未能解決。終于,1882年,德國數學家費迪南德·林德曼(1852—1939年)成功而明確地證明了化圓為方是根本不可能的。其證明的技術性細節非常高深,遠遠超出了本書的范圍。但是,從下面的概要中,我們仍然可以看到林德曼是如何解答這一古老問題的。

          林德曼解決這一難題的方法是將問題從幾何王國轉向數字王國。只要我們想象所有實數的集合(如圖1.18中大長方形所包括的范圍),我們就能夠將它們再劃分為兩個窮舉且相互排斥的類型——代數數和超越數。

          根據定義,如果一個實數滿足下述代數方程

          an xn + an-1 xn-1+……+ a2x2 + a1x + a0=0

          那么,這個實數是代數數。方程中所有系數,an,an-1,……,a2,

        中,每一個多項式的系數都是整數。

          用不太正規的話說,我們可以認為,代數數是我們在算術和初等代數中遇到的“容易”或“熟悉”的量。例如,所有整數都是代數數,所有分數,及其平方根、立方根等,也都是代數數。

          相反,如果一個數不是代數數,那么,就必然是超越數——也就是說,這個數不是任何帶有整數系數的代數方程的解。超越數與其比較簡單的代數數親族相比,要復雜得多。根據定義,顯然,任何實數不是代數數,就是超越數,但不可能兩者兼之。這就是嚴格的二分法,猶如一個人不是男的,就是女的,決沒有中性可言。

          下面,我們將先討論單位長度(即代表數字“1”的長度),并以此為基礎,進一步討論我們能夠用直尺和圓規作出的其他長度。情況表明,所有可構造線段長度的總和,雖然龐大,但卻不可能包括每一個實數。例如,從長度1開始,我們可以作出長度2、3、4,等等,也能作出有理
        長度的和、差、積和商。把所有這些作圖集合在一起,我們可以看到,更加復雜的表達式,如

         

          就是實際的可構造長度。

          這些大量的可構造數就構成了代數數的子集,就像所有禿頭男人的集合構成了所有男人的子集一樣。如圖1.18所示,這些可構造數嚴格隸屬于代數數。重要的問題是,沒有一個超越數能夠用圓規和直尺作出。(如果把我們的比喻再擴大一步,那么,這后一句話的意思就是,沒有一個女人會隸屬于禿頭男人之列。)

          在林德曼開始著手研究化圓為方的問題時,所有這些知識都已為人所知。在其前輩、特別是在法國卓越數學家夏爾·埃爾米特(1822—1901年)努力的基礎上,林德曼攻克了著名的數字π。(在初等幾何中,我們見到的π是作為圓的周長與直徑的比;我們在第四章中將詳盡論述這一重要的常數。)林德曼的成就是證明了π是超越數。也就是說,π不是代數
        的圖形。

          乍看之下,這一數字上的發現對于化圓為方的幾何問題似乎沒有多大關系,但是,我們將看到,這一發現為這一古老難題補上了缺失的一環!

          定理 化圓為方是不可能的

          證明 為了形成最后的予盾,讓我們先假設圓能夠化為方。我們可以很容易地用圓規作一個圓,使半徑r=1。因此,這個圓的面積就是πr2=π。如果按照我們的假設,圓能夠化為方,于是,我們便非常興奮地用圓規和直尺猛砍圓弧,并畫上直線。我們只需經過這樣有限的幾次,最后就終于得到了一個面積也是π的正方形,如圖1.19所示。在這一過程中,我們構造了正方形,當然也就構造了它的四條邊。我們設正方形的邊長為x。于是,我們看到

          π=圓面積=正方形面積=x2

         
         

          究竟錯在哪里了呢?我們再回頭看一看整個論證過程,以找出產生這一矛盾的原因。我們發現,問題只能出在最初的假設上,也就是圓能夠化為方的假設,結果,我們必須否定這個假設,并據此得出結論,化圓為方在邏輯上是根本不可能的!證訖。

          林德曼的發現表明,從希波克拉底時代直到現代數學家對化圓為方這一難題的刻意探索,實際上是徒勞的。從化新月形為方開始,所有有啟發性的證明,所有有希望的線索,到頭來都成了虛幻鏡影。只使用圓規和直尺是不足以化圓為方的。

          那么,歷史對新月形求方又作如何評價呢?上述偉大定理表明,希波克拉底成功地作出了一種特定新月形的等面積正方形,并努力探求另外兩種新月形的求方。因而,到公元前440年時,三種類型的新月形化方,已為眾人所知。但從此便停滯在這一水平,兩千多年沒有進展。直到1771年,偉大的數學家萊昂哈德·歐拉(1707—1783年)(我們將在第九章和第十章中詳細介紹)才發現了另外兩種可以用等價平方表示的新月形。此后,直到20世紀,N.G.切巴托魯和A.W.多羅德諾才證明出這五種新月形是唯一可用等價平方表示的新月形!所有其它類型的新月形,包括我們前面講到的曾引起亞歷山大尖銳批評的那種新月形,都像圓形一樣,不可能化為等價正方形。

          因此,希波克拉底及其新月形的故事便就此劃上了句號,而且,這是一個相當曲折反復的故事。起初,直覺認為,不可能用圓規和直尺作出曲線圖形的等價正方形。但是,希波克拉底通過新月形求方將直覺顛倒過來,并繼續尋求更多可用等價平方表示的曲線圖形。然而,最后,林德曼、切巴托魯和多羅德諾的否定結論表明,直覺并非一無是處。曲線圖形的求方遠非規范,而必定永遠只是例外。

        • 首頁
          返回首頁
        • 欄目
          欄目
        • 設置
          設置
        • 夜間
        • 日間

        設置

        閱讀背景
        正文字體
        • 宋體
        • 黑體
        • 微軟雅黑
        • 楷體
        文字大小
        A-
        14
        A+
        頁面寬度
        • 640
        • 800
        • 960
        • 1280
        上一篇:第二章 下一篇:自序

        小說推薦

        欧美韩国日本精品一区二区三区
          <address id="9rtr7"><strike id="9rtr7"><span id="9rtr7"></span></strike></address>

          <pre id="9rtr7"><ruby id="9rtr7"></ruby></pre>
            <track id="9rtr7"><strike id="9rtr7"><strike id="9rtr7"></strike></strike></track>

              <track id="9rtr7"><strike id="9rtr7"><rp id="9rtr7"></rp></strike></track>
              <pre id="9rtr7"></pre>
              <track id="9rtr7"></track>